古典力学 4 (質点系)

質点から質点系へ議論を拡張します。

ベクトルは太字にしていますが、わかりにくいです。

質点から質点系へ

今までは、1つの質点を考えてきました。大きさはなく、空間のどこかの1点と説明されます。

今から、多数の質点を考えます。質点の集まりを考えてそれぞれの距離を考えます。質点の集まりを質点系と言います。
外力により、それぞれの距離が変化するものと、それぞれの距離が変化しないもの、が考えられます。

質点系の重心

定義 : 質点系の重心

\[
(重心) = \frac{m_1 \boldsymbol{r}_1 + m_2 \boldsymbol{r}_2 + \cdots + m_n \boldsymbol{r}_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n m_i \boldsymbol{r}_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^n m_i}
\]

普通に考えると、こうなると思いますので、とても自然な定義と思います。

軟らかいものと硬いもの

ここからは、大きさがあるものを考えます。

外力により変形しない、とみなして問題ないものがあります。これを力学では剛体と言います。硬いもの、と呼ぶ場合もあります。
現実的に変形しないと説明されるより、絶対に変形しない理想的な物体を考えると説明されます。

硬いものには大きさがありますが、外力によりそれぞれの質点の距離が変化しないものとみなして、質点での議論を当てはめることができるように考えます。

硬いものの重さ

質点系の総和としますが、ものの重さは計測可能なので\( M \)で表します。大体の文献で\( M \)です。

\(M\)はわかりやすいですが、\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_i\)という多数の質点の総和は少しわかりにくいかと思います。質点の議論で得た結果を持ち込みたいので、これにならいます。
\(n\)の個数は10や20を考えるよりも無限を考えた方がわかりやすいかもしれません。

\[
M = \sum_{i=1}^{n} m_i
\]

硬いものの運動

硬いものの運動をよく考えると、回転のない運動と、回転運動に分ければ十分とわかります。

硬いものの回転のない運動を並進運動と呼びます。硬いものの中の全ての質点が同じ方向に同じ距離だけ移動する運動です。重心運動と呼ぶ場合もあります。

硬いものの回転運動は回転運動と呼びます。相対運動と呼ぶ場合もあるようです。

硬い何かを投げる場合は、初期条件を作り込まなければ並進運動と同時に回転運動することになるはずです。どんなに初期条件を作り込んでも回転させないのは至難と思います。並進運動と同時に回転運動するときを連成運動を呼ぶ場合もあります。

質点系の並進運動

質点系の重心の位置を\( \boldsymbol{r}_{G} \)と表すとします。

\[
M \ddot{\boldsymbol{r}}_{G} = \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{F}_i
\]

質点系の回転運動

1つの質点のちからのモーメント(=Torque)を考えます。

\[
\begin{align*}
\boldsymbol{N}_{i}(t) = \boldsymbol{r}_{i}(t) \times \boldsymbol{F}_{i}(t)
\end{align*}
\]

全ての質点のちからのモーメント(=Torque)を考えます。

\[
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{N}_{i}(t) = \sum_{i=1}^{n} (\boldsymbol{r}_{i}(t) \times \boldsymbol{F}_{i}(t))
\end{align*}
\]

まとめ

次は、座標について考えます。

前の記事はこちら、古典力学 3です。

お断り

微分積分を使った古典力学なので、中学生、高校生は参考にしないでください。

参考

トランジスタ技術2019年7月号