古典力学 5 (座標 / 一般化座標)

座標について考えます。

ベクトルは太字にしていますが、わかりにくいです。

座標について整理して考える

2次元の座標

デカルト座標

デカルトが1637年の「方法序説」で初めて、直交する2つの軸で平面上の位置を示す概念、を示したとされています。
(以下、直交座標とします)

$$ 位置 = (x, y) $$

位置を2つの変数で表しています。
平面上の任意の位置を表すことができます。

極座標

ある原点をとり、原点からの距離\(r\)と、原点を通る基準とする直線からの角度\(\theta\)を使って平面上の位置を示します。
\( 0 \leq \theta \lt 2\pi \)と説明されることが多いです。

$$ 位置 = (r, \theta) $$

極座標の説明のすぐ後に\(r\)を固定して円運動の話しが始まることが多いですが、平面上の任意の位置を表すことができます。
回転の運動の記述に使いたい座標系ですが、例えば、\(\theta(t)=0\)のまま、\(r(t)\)が一次関数で表すことができる増加のしかたをする場合はx軸上の等速直線運動となります。

位置を2つの変数で表しています。
平面上の任意の位置を表すことができます。

極座標を直交座標に変換する関数(2次元)

定義より明らかです。

\[
\begin{align*}
x & = r \cos(\theta) \\
y & = r \sin(\theta)
\end{align*}
\]

他の座標

2次元でよく見るのは、あとはxy平面上の回転座標系くらいでしょうか。

3次元の座標

デカルト座標

xとyとzを90度ずつの関係を持たせて、原点からの3つの距離で、3次元空間内の任意の点の位置を示します。
(以下、直交座標とします)

$$ 位置 = (x, y, z) $$

位置を3つの変数で表しています。
空間内の任意の位置を表すことができます。

極座標

ある原点をとり、原点からの距離\(r\)と、原点を通る基準とする直交する3本の直線の2本を使い、角度\(\theta\)と\(\phi\)を使って、空間内の位置を示します。
\( 0 \leq \theta \lt \pi, 0 \leq \phi \lt 2\pi \)と説明されることが多いです。
\( 0 \leq \theta \lt 2\pi, 0 \leq \phi \lt \pi \)でも任意の位置を示すことができます。

$$ 位置 = (r, \theta, \phi) $$

\(\theta\)を決めた時点で、\(r\)の\(x\)成分と\(y\)成分は青点線と重なるため、あとは\(\phi\)のみで任意の位置を示すことができます。

位置を3つの変数で表しています。
空間内の任意の位置を表すことができます。

極座標を直交座標に変換する関数(3次元)

上の図で直方体を考えます。

上面の対角線が\(r\sin\phi\)となり、下面の対角線も\(r\sin\phi\)となるので、\(x=r\sin\phi\cos\theta\)、\(y=r\sin\phi\sin\theta\)となることがわかります。
zは\(\phi\)の余弦なので、\(z=r\cos\phi\)です。

\[
\begin{align*}
x & = r \sin\phi\cos\theta \\
y & = r \sin\phi\sin\theta \\
z & = r \cos\phi
\end{align*}
\]

Lagrangianを使う動機

Euler-Lagrangeの運動方程式を使う動機を確かめておきます。

円周上に束縛された回転運動を例にとると、原点からの距離\(r\)が定数になるので、\(\theta\)だけが変化するので極座標を使った方が筋が良さそうです。
しかし、極座標で\(\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}\)の微分方程式を解くことは非常に手間がかかります。

速度を得るために、時間\(t\)で微分します。積の微分と合成関数の微分を思い出してください。

\[
\begin{align*}
\dot{x}(t) & = \frac{d}{dt}(r(t)\sin(\phi(t))\cos(\theta(t))) \\
& = (r(t)\sin(\phi(t)))’\cos(\theta(t)) + (r(t)\sin(\phi(t)))(\cos(\theta(t)))’ \\
& = (r(t)’\sin(\phi(t))+r(t)\sin(\phi(t))’)\cos(\theta(t)) – (r(t)\sin(\phi(t)))(\sin(\theta(t))) \\
& = r(t)’\sin(\phi(t))\cos(\theta(t))+r(t)\sin(\phi(t))’\cos(\theta(t)) – r(t)\sin(\phi(t))\sin(\theta(t)) \\
& = \dot{r}(t)\sin(\phi(t))\cos(\theta(t))+r(t)\dot{\phi}(t)\cos(\phi(t))\cos(\theta(t)) – r(t)\sin(\phi(t))\sin(\theta(t))
\end{align*}
\]

残りもやりますが、この時点でxyzに全て1階微分するだけで非常に手間がかかる、2階微分はもっと手間がかかることが自明のため、Euler-Lagrange運動方程式を使おうということになります。

\[
\begin{align*}
\dot{y}(t) & = \frac{d}{dt}(r(t)\sin(\phi(t))\sin(\theta(t))) \\
& = (r(t)\sin(\phi(t)))’\sin(\theta(t)) + (r(t)\sin(\phi(t)))(\sin(\theta(t)))’ \\
& = (r(t)’\sin(\phi(t))+r(t)\sin(\phi(t))’)\sin(\theta(t)) + (r(t)\sin(\phi(t)))(\cos(\theta(t))) \\
& = r(t)’\sin(\phi(t))\sin(\theta(t))+r(t)\sin(\phi(t))’\sin(\theta(t)) + r(t)\sin(\phi(t))\cos(\theta(t)) \\
& = \dot{r}(t)\sin(\phi(t))\sin(\theta(t))+r(t)\dot{\phi}(t)\cos(\phi(t))\sin(\theta(t)) + r(t)\sin(\phi(t))\cos(\theta(t))
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\dot{z}(t) & = \frac{d}{dt}(r(t)\cos\phi(t)) \\
& = r(t)’\cos\phi(t) + r(t)\cos\phi(t)’ \\
& = \dot{r}(t)\cos\phi(t) – r(t)\dot{\phi}(t)\sin(\phi(t)) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\end{align*}
\]

2階微分はやめておきます。

他の座標

ときどき見るのは、下記と思います。

• 円筒座標 / 円柱座標
• 回転座標系

一般化座標(generalized coordinates)

上記で説明したように平面上の位置の記述には、直交座標でも極座標でも変数を2つ使いました。
これは自由度が2の運動の記述には変数が2つ必要であることを示唆しています。

拘束条件や束縛条件と言われるものが1つあると2-1で1つの変数で平面上の運動を記述できます。

空間のどこかにある質点の位置の記述には、変数を3つ使いました。
これは自由度が3の運動の記述には変数が3つ必要であることを示唆しています。

拘束条件や束縛条件と言われるものが1つあると3-1で2つの変数で空間内の運動を記述できます。

関数の使用により、直交座標と交換可能な座標は全て一般化座標と言う、ということです。

後は質点系に拡張します。

直交座標が入るのか入らないのか、定義がふらついていますが、一般化座標の定義の説明として十分と思いますので、ご了承ください。

考察 / 類推

直交座標から、自分で関数を決めて、変換をかけて、意味のない一般化座標を作る、量産することも可能と思います。
公理系が量産されないように、意味のない枠組みは作成されないとは思います。

まとめ

次は、一般化速度です。

参考

トランジスタ技術2019年7月号

広告

IT開発関連書とビジネス書が豊富な翔泳社の通販『SEshop』
さくらのレンタルサーバ
ムームードメイン
Ｏｉｓｉｘ（おいしっくす）
らでぃっしゅぼーや
珈琲きゃろっと
エプソムソルト

« 古典力学 4 (質点系)     古典力学 6 (一般化速度) »