古典力学 8 (オイラー・ラグランジュ運動方程式)

ポテンシャルエネルギー(potential energy)

運動エネルギーは、$ \boldsymbol{F} = m \boldsymbol{a} $の両辺に速度ベクトル$\boldsymbol{v}$をかけて、下記の計算結果から定義しました。

\[
\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v} = m \frac{1}{2} \frac{d}{dt} v^2 = \frac{d}{dt} \frac{1}{2} m v^2
\]

これの位置バージョンについて考えます。

直交座標で考えて、1つの質点について考えて、三変数関数$U(x,y,z)$を考えます。全微分します。

$$ \Delta U = U(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-U(x,y,z) = \frac{\partial U}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial U}{\partial y} \Delta y + \frac{\partial U}{\partial z} \Delta z $$

下記の関係が成り立つように考えます。

$$ \Delta U = \boldsymbol{F} \cdot \Delta \boldsymbol{r} $$

\[
\begin{align*}
\Delta U &= \frac{\partial U}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial U}{\partial y} \Delta y + \frac{\partial U}{\partial z} \Delta z = \boldsymbol{F} \cdot \Delta \boldsymbol{r} \\
&= (\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}) \cdot (\Delta x,\Delta y,\Delta z) = (F_x,F_y,F_z) \cdot (\Delta x,\Delta y,\Delta z)
\end{align*}
\]

よって、下記となる$U$を定義すればよさそうです。

$$ (\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}) = (F_x,F_y,F_z) $$

重力について考えたとき、高さ、上を$x$軸とすると、重力は下方向へのちからなので、定義は下記となります。

定義 : ポテンシャルエネルギー(potential energy)

下記をポテンシャルエネルギーと定義します。

$$ U(\boldsymbol{r}) = -\int_{r_A}^{r_B} \boldsymbol{F} d\boldsymbol{r} $$

$U$または$V$が使われます。

位置と運動の関係をXrossさせることに見事に成功しています。
\[
\begin{align*}
\frac{d}{dt} U(\boldsymbol{r}) &= \frac{\partial U}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial U}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial U}{\partial z} \frac{dz}{dt} \\
&= (\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}) \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \\
&= -\boldsymbol{F} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \\
&= -\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v}
\end{align*}
\]

$$ \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v} = \frac{d}{dt} -U(\boldsymbol{r}) $$

力学ではポテンシャルエネルギーは重力とばねだけを考えれば、とりあえずなんとかなる気がします。

重力やばねなどは保存力と言います。
手で持ち上げたり、モーターで持ち上げたり、は非保存力と言います。

重たいものを考えて、上げたり下げたりは全て非保存力で、重たいものの前の高さと後の高さだけを考えると保存力です。

Lagrangian

ポテンシャルエネルギー$U$を一般化座標$q_j$で偏微分します。

\[
\begin{align*}
\frac{\partial U(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial q_j} &= \frac{\partial U(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial q_j} + \frac{\partial U(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial x_2} \frac{\partial x_2}{\partial q_j} + \cdots + \frac{\partial U(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial x_n}\frac{\partial x_n}{\partial q_j} \\
&= \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial U(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \\
&= -\sum_{i=1}^{n} F_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \\
&= -Q_j \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\dot{p}_j = \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} K &= Q_j + \sum_{i=1}^{n} m_i \dot{x}_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \\
&= Q_j + \frac{\partial}{\partial q_j} K \\
&= \frac{\partial}{\partial q_j} K -\frac{\partial U(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial q_j} \\
&= \frac{\partial}{\partial q_j} (K – U)
\end{align*}
\]

定義 : Lagrangian

下記のLをLagrangianと定義します。

$$ L = K – U $$

オイラー・ラグランジュ運動方程式

オイラーが1変数の場合を示し、ラグランジュが多変数の場合に拡張したということです。ラグランジュ運動方程式と言う場合もあります。

まずは、非保存力がない場合のオイラー・ラグランジュ運動方程式です。

\[
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} L &= \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} (K – U) \\
&= \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} K – \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} U \\
&= \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} K – 0 \\
&= \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} K
\end{align*}
\]

オイラー・ラグランジュ運動方程式

非保存力がない場合のオイラー・ラグランジュ運動方程式です。

$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \frac{\partial L}{\partial q_j} $$

次は、非保存力がある場合のオイラー・ラグランジュ運動方程式です。

\[
\begin{align*}
{Q_j}^{all} &= \sum_{i=1}^{n} {F_i}^{all} \frac{\partial x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_j} \\
&= \sum_{i=1}^{n} ({F_i}^{conservative}+{F_i}^{non-conservative}) \frac{\partial x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_j} \\
&= \sum_{i=1}^{n} {F_i}^{conservative} \frac{\partial x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_j} + \sum_{i=1}^{n} {F_i}^{non-conservative} \frac{\partial x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_j} \\
&= {Q_j}^{conservative} + {Q_j}^{non-conservative} \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\dot{p}_j = \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} K &= {Q_j}^{all} + \frac{\partial}{\partial q_j} K \\
&= {Q_j}^{conservative} + {Q_j}^{non-conservative} + \frac{\partial}{\partial q_j} K \\
&= {Q_j}^{non-conservative} + \frac{\partial}{\partial q_j} K – \frac{\partial}{\partial q_j} U \\
&= {Q_j}^{non-conservative} + \frac{\partial}{\partial q_j} L
\end{align*}
\]

$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = {Q_j}^{non-conservative} + \frac{\partial L}{\partial q_j} $$

オイラー・ラグランジュ運動方程式

非保存力がある場合のオイラー・ラグランジュ運動方程式です。

$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} – \frac{\partial L}{\partial q_j} = {Q_j}^{non-conservative} $$

参考

トランジスタ技術2019年7月号

ポテンシャルエネルギー(potential energy)

Lagrangian

オイラー・ラグランジュ運動方程式

参考

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