古典力学 7 (全微分)

影を追います。

全微分

まず、一変数関数の一次近似を考えます。

拡大します。図は、自分で描きましょう。

\(f(x+\Delta x)\)の値について考えます。変数\(x\)の値を決めると、\(f(x)\)の値が決まります。非常に多くの場合に\(x\)の位置で平面上の高さ\(y\)が決まるとして図にして理解します。

\[
\begin{align*}
f(x+\Delta x) & = f(x) + (一変数の微小変位によるf(x)の変位) + O(|一変数の微小変位|) \\
f(x+\Delta x) & = f(x) + (傾き)(|一変数の微小変位|) + O(|一変数の微小変位|) \\
f(x+\Delta x) & = f(x) + f'(x)\Delta x + O(|\Delta x|)
\end{align*}
\]

\(\Delta x\)を割と遠くに描きました。\(O(|\Delta x|)\)や\(o(|\Delta x|)\)や\(\varepsilon\)を使って説明される値です。本当の値とは違うはず、ということを表しています。(この近似の場合は本来の値よりも必ず小さいはず。)

無限に\(x\)に近いことを考えるので、\(O(|\Delta x|)\)はゼロとして、下記を得ます。

$$ f(x+\Delta x) = f(x) + f'(x)\Delta x $$

次に、二変数関数の一次近似を考えます。既に拡大済みです。図は、自分で描きましょう。

\(x\)の少しの移動を考えます。同時に\(y\)の少しの移動を考えます。
\(f(x+\Delta x,y+\Delta y)\)の値について考えます。2つの変数の値を決めると\(f(x,y)\)の値が決まります。非常に多くの場合に平面上の\(x\)と\(y\)の位置で空間内の高さ\(z\)が決まるとして図にして理解します。

\[
\begin{align*}
f(x+\Delta x, y+\Delta y) & = f(x,y) + (二変数の微小変位によるf(x,y)の変位) + O(\|二変数の微小変位\|) \\
f(x+\Delta x, y+\Delta y) & = f(x,y) + (傾き)(\|二変数の微小変位\|) + O(\|二変数の微小変位\|)
\end{align*}
\]

ここで、黄色の線が作る長方形、または直角三角形を考えて、三平方の定理を使って、

$$ \|二変数の微小変位\| = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} $$

そして、

$$ (xの微小変位によるf(x,y)の変位) = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \Delta x $$
$$ (yの微小変位によるf(x,y)の変位) = \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \Delta y $$

傾きは下記で得られますが、欲しいのは高さなので、計算の必要はありません。

$$ (傾き) = \frac{ \displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \Delta y}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} $$

整理して、下記を得ます。

$$ f(x+\Delta x, y+\Delta y) = f(x,y) + \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \Delta y + O(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}) $$

無限に\((x,y)\)に近いことを考えるので、\(O(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2})\)はゼロとして、下記を得ます。

$$ f(x+\Delta x, y+\Delta y) = f(x,y) + \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \Delta y $$

ここでは、全微分可能性の定義はやりません。大変なので。多変数への拡張もやりません。
しかし、ここまで内容を把握しておけば、大抵の教科書を読み進めることができるでしょう。

教科書によっては、微分形式として説明されます。全微分という言葉が一番ましな気がします。

よく見る方の形にしておきます。

$$ \Delta f = f(x+\Delta x, y+\Delta y) -f(x,y) = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \Delta y $$

一般化座標を入力すると直交座標を出力する関数を全微分する

質点系の一般化座標は下記として説明されることが多いです。

\[
\begin{align*}
x_1 & = x_1(q_1,q_2, \cdots, q_n) \\
x_2 & = x_2(q_1,q_2, \cdots, q_n) \\
& \vdots \\
x_n & = x_n(q_1,q_2, \cdots, q_n)
\end{align*}
\]

左の\(x_1\)は変数です。右の\(x_1\)は関数です。

ここでは、下記とします。
\[
\begin{align*}
x_1 & = f_1(q_1,q_2, \cdots, q_n) \\
x_2 & = f_2(q_1,q_2, \cdots, q_n) \\
& \vdots \\
x_n & = f_n(q_1,q_2, \cdots, q_n)
\end{align*}
\]

まず、\(x_1\)を全微分します。上で\(x\)と\(y\)で議論していたところに\(q\)を使います。

$$ \Delta x_1 = \frac{\partial f_1(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_1} \Delta q_1 + \frac{\partial f_1(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_2} \Delta q_2 + \cdots + \frac{\partial f_1(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_n} \Delta q_n $$

次に、\(x_2\)を全微分します。

$$ \Delta x_2 = \frac{\partial f_2(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_1} \Delta q_1 + \frac{\partial f_2(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_2} \Delta q_2 + \cdots + \frac{\partial f_2(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_n} \Delta q_n $$

以下同様として、

$$ \Delta x_i = \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_j} \Delta q_j $$

多くの場合に\(\Delta\)ではなく\(d\)が使われます。微小変位です。

微小な仕事を考える前に

2次元の直交座標と極座標では、下記の関係が成り立ちます。

\[
\begin{align*}
x & = r \cos(\theta) \\
y & = r \sin(\theta)
\end{align*}
\]

一般化座標の書き方にします。

\[
\begin{align*}
x_1 & = r \cos(\theta) \\
x_2 & = r \sin(\theta)
\end{align*}
\]

\(x_1\)と\(x_2\)は、\(r\)と\(\theta\)の関数と捉えることができます。上記を関数を表す式とします。\(x_1\)と\(x_2\)は関数でも変数でも示すもの同じとなります。

\[
\begin{align*}
x_1 & = x_1(r,\theta) \\
x_2 & = x_2(r,\theta)
\end{align*}
\]

一般化座標の書き方にします。

\[
\begin{align*}
x_1 & = x_1(q_1,q_2) \\
x_2 & = x_2(q_1,q_2)
\end{align*}
\]

ここからは、多くの書籍と同じ上記の書き方にします。\(\Delta\)も\(d\)にします。

一般化ちから

微小な仕事を考えます。

\[
\begin{align*}
dW = \sum_{i=1}^{n} F_i dx_i & = \sum_{i=1}^{n} F_i \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_j} dq_j \\
& = \sum_{i=1}^{n} F_i (\frac{\partial x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_1} dq_1 + \frac{\partial x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_2} dq_2 + \cdots + \frac{\partial x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_n} dq_n) \\
& = \sum_{i=1}^{n} (F_i \frac{\partial x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_1} dq_1 + F_i \frac{\partial x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_2} dq_2 + \cdots + F_i \frac{\partial x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_n} dq_n) \\
& = \qquad F_1 \frac{\partial x_1(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_1} dq_1 + F_1 \frac{\partial x_1(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_2} dq_2 + \cdots + F_1 \frac{\partial x_1(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_n} dq_n \\
& \qquad + F_2 \frac{\partial x_2(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_1} dq_1 + F_2 \frac{\partial x_2(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_2} dq_2 + \cdots + F_2 \frac{\partial x_2(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_n} dq_n \\
& \quad \quad \;\, \vdots \\
& \qquad + F_n \frac{\partial x_n(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_1} dq_1 + F_n \frac{\partial x_n(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_2} dq_2 + \cdots + F_n \frac{\partial x_n(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_n} dq_n \\
& = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} F_i \frac{\partial x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{\partial q_j} dq_j
\end{align*}
\]

\(F\)と\(Q\)が対応しているというわけです。

$$ dW = \sum_{i=1}^{n} F_i dx_i = \sum_{j=1}^{n} Q_j dq_j = \sum_{i=1}^{n} Q_i dq_i $$

一般化運動量

一般化速度で偏微分する(本稿ではこの結果は使いません。計算の考え方を使います。)

一般化座標を考えます。

$$ x_i = x_i(q_1(t),q_2(t), \cdots, q_n(t)) $$

両辺を時間\(t\)で微分します。

$$ (左辺) = \dot{x}_i $$

右辺は合成関数の微分です。

\[
\begin{align*}
(右辺) &= \frac{\partial x_i}{\partial q_1} \frac{dq_1}{dt} + \frac{\partial x_i}{\partial q_2} \frac{dq_2}{dt} + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_n} \frac{dq_n}{dt} \\
&= \frac{\partial x_i}{\partial q_1} \dot{q}_1 + \frac{\partial x_i}{\partial q_2} \dot{q}_2 + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_n} \dot{q}_n
\end{align*}
\]

まとめると、下記となります。

$$ \dot{x}_i = \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dot{q_j} $$

両辺を一般化速度\(\dot{q}_i\)で偏微分します。

下記について、全て独立変数と考えます。
$$ q_1, q_2, \cdots, q_n, \dot{q}_1, \dot{q}_2, \cdots, \dot{q}_n $$

\(x_i(q_1, q_2, \cdots, q_n)\)の変数は\(q_1, q_2, \cdots, q_n\)なので、\(\displaystyle \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\)は全て定数と考えます。
\(\dot{q}_i\)以外の\(\dot{q}_{i^c}\)も定数と考えます。

\[
\begin{align*}
\frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_i} &= \frac{\partial}{\partial \dot{q}_i} \bigl( \frac{\partial x_i}{\partial q_1} \dot{q}_1 + \frac{\partial x_i}{\partial q_2} \dot{q}_2 + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_i} \dot{q}_i + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_n} \dot{q}_n \bigr) \\
&= \frac{\partial}{\partial \dot{q}_i} \bigl( \frac{\partial x_i}{\partial q_1} \dot{q}_1 \bigr) + \frac{\partial}{\partial \dot{q}_i} \bigl( \frac{\partial x_i}{\partial q_2} \dot{q}_2 \bigr) + \cdots + \frac{\partial}{\partial \dot{q}_i} \bigl( \frac{\partial x_i}{\partial q_i} \dot{q}_i \bigr) + \cdots + \frac{\partial}{\partial \dot{q}_i} \bigl( \frac{\partial x_i}{\partial q_n} \dot{q}_n \bigr) \\
&= 0 + 0 + \cdots + \frac{\partial}{\partial \dot{q}_i} \bigl( \frac{\partial x_i}{\partial q_i} \dot{q_i} \bigr) + \cdots + 0 \\
&= \frac{\partial x_i}{\partial q_i}
\end{align*}
\]

微分される\(\dot{q}_j\)は\(f(\dot{q}_j) = \dot{q}_j\)という関数(入力の値をそのまま出力の値とする関数)でも同じなので、上の操作としています。

まとめると、下記となります。

$$ \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial x_i}{\partial q_i} $$

一般化運動量を定義する

運動エネルギー(Kinetic energy)を考えます。

$$ \frac{1}{2}m( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v} ) = \frac{1}{2}m( v_x v_x + v_y v_y + v_z v_z) = \frac{1}{2}mv^2 $$

下記で表します。
$$ K = \frac{1}{2}mv^2 $$

こちらの場合も多いです。
$$ T = \frac{1}{2}mv^2 $$

\[
\begin{align*}
K &= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}m_i(\dot{x}_i)^2 \\
&= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_i(\dot{x}_i)^2 \\
&= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_i(\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dot{q}_j)^2
\end{align*}
\]

運動エネルギーを一般化速度\(\dot{q}_j\)で偏微分します。

\[
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} K &= \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} (\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_i(\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dot{q}_j)^2)
\end{align*}
\]

ここで、下記について考えます。

\[
\begin{align*}
\biggl( \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dot{q}_j \biggr)^2
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\biggl( \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dot{q}_j \biggr)^2 & = \qquad \frac{\partial x_i}{\partial q_1}\dot{q}_1 \frac{\partial x_i}{\partial q_1}\dot{q}_1 + \frac{\partial x_i}{\partial q_1}\dot{q}_1 \frac{\partial x_i}{\partial q_2}\dot{q}_2 + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_1}\dot{q}_1 \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_1}\dot{q}_1 \frac{\partial x_i}{\partial q_n}\dot{q}_n \\
& \qquad \, + \frac{\partial x_i}{\partial q_2}\dot{q}_2 \frac{\partial x_i}{\partial q_1}\dot{q}_1 + \frac{\partial x_i}{\partial q_2}\dot{q}_2 \frac{\partial x_i}{\partial q_2}\dot{q}_2 + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_2}\dot{q}_2 \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_2}\dot{q}_2 \frac{\partial x_i}{\partial q_n}\dot{q}_n \\
& \quad \quad \;\; \vdots \\
& \qquad \, + \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j \frac{\partial x_i}{\partial q_1}\dot{q}_1 + \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j \frac{\partial x_i}{\partial q_2}\dot{q}_2 + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j \frac{\partial x_i}{\partial q_n}\dot{q}_n \\
& \quad \quad \;\; \vdots \\
& \qquad \, + \frac{\partial x_i}{\partial q_n}\dot{q}_n \frac{\partial x_i}{\partial q_1}\dot{q}_1 + \frac{\partial x_i}{\partial q_n}\dot{q}_n \frac{\partial x_i}{\partial q_2}\dot{q}_2 + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_n}\dot{q}_n \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_n}\dot{q}_n \frac{\partial x_i}{\partial q_n}\dot{q}_n
\end{align*}
\]

後は、この項の塊の\(i\)に\(1,2,\cdots,n\)を順番に入れて全て足すことを考えれば完了です。
ですが、先に和の微分により、偏微分します。

\[
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} \biggl( \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dot{q}_j \biggr)^2 & = \qquad \qquad 0 \qquad + \qquad 0 \qquad + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_1}\dot{q}_1 \frac{\partial x_i}{\partial q_j} + \cdots + \qquad 0 \\
& \qquad \, + \qquad 0 \qquad + \qquad 0 \qquad + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_2}\dot{q}_2 \frac{\partial x_i}{\partial q_j} + \cdots + \qquad 0 \\
& \quad \quad \, \vdots \\
& \qquad \, + \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \frac{\partial x_i}{\partial q_1}\dot{q}_1 + \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \frac{\partial x_i}{\partial q_2}\dot{q}_2 + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \frac{\partial x_i}{\partial q_j}2\dot{q}_j + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \frac{\partial x_i}{\partial q_n}\dot{q}_n \\
& \quad \quad \, \vdots \\
& \qquad \, + \qquad 0 \qquad + \qquad 0 \qquad + \cdots + \frac{\partial x_i}{\partial q_n}\dot{q}_n \frac{\partial x_i}{\partial q_j} + \cdots + \qquad 0 \\
&= 2 \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\dot{q}_j \\
&= 2 \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dot{x}_i
\end{align*}
\]

よって、

\[
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} K &= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_i 2 \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dot{x}_i \\
&= \sum_{i=1}^{n} m_i \dot{x}_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j}
\end{align*}
\]

一般化運動量を時間で微分する

下記を時間\(t\)で微分します。

$$ m\boldsymbol{v} $$

すると、下記となります。

$$ m\boldsymbol{a} $$

下記を時間\(t\)で微分します。

$$ \sum_{i=1}^{n} m_i \dot{x}_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j} $$

積の微分です。

\[
\begin{align*}
&　\frac{d}{dt} \sum_{i=1}^{n} m_i \dot{x}_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \\
&= \sum_{i=1}^{n} m_i \frac{d}{dt} \bigl( \dot{x}_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \bigr) \\
&= \sum_{i=1}^{n} m_i \bigl( \ddot{x}_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j} + \dot{x}_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \bigr) \\
&= \sum_{i=1}^{n} \bigl( m_i \ddot{x}_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j} + m_i \dot{x}_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \bigr) \\
&= \sum_{i=1}^{n} m_i \ddot{x}_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j} + \sum_{i=1}^{n} m_i \dot{x}_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \\
&= Q_j + \sum_{i=1}^{n} m_i \dot{x}_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \\
\end{align*}
\]

運動エネルギーを一般化座標で偏微分する

\[
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial q_j} K &= \frac{\partial}{\partial q_j} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} m_i (\dot{x}_i)^2 \\
&= \sum_{i=1}^{n} \frac{ \displaystyle \partial \frac{1}{2} m_i (\dot{x}_i)^2}{\partial \dot{x}_i} \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \\
&= \sum_{i=1}^{n} m_i \dot{x}_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j}
\end{align*}
\]

運動方程式

\[
\begin{align*}
\dot{p}_j = \frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_j} K &= Q_j + \sum_{i=1}^{n} m_i \dot{x}_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_j} \\
&= Q_j + \frac{\partial}{\partial q_j} K \\
\end{align*}
\]

参考

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