古典力学について説明します。
ベクトルは太字にしていますが、わかりにくいです。
簡単な歴史の説明
1500年代からガリレオ、ケプラー、ニュートン、ライプニッツ、と続いて、我々が知っている位置または距離を二階微分した運動方程式はオイラーの成果とのことです。
位置(距離)、速度、加速度
移動の様子をグラフに描きます。
位置
位置ベクトルは、ある時刻における\(x\)と\(y\)と\(z\)の位置の変化の様子を示します。
\[ \boldsymbol{r}(t) =
\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t) \\
z(t)
\end{pmatrix}
\]
単位を付けます。位置の単位は\([m]\)とします。何かしらの単位は決めないと議論できなくて\([m]\)が適切でしょうということです。
\[ \boldsymbol{r}(t)[m] =
\begin{pmatrix}
x(t) [m] \\
y(t) [m] \\
z(t) [m]
\end{pmatrix}
\]
3次元を移動する例の図です。下から上に移動しているとします。
速度
微分の議論と同様にして、
\[
\begin{align*}
& \frac{xの増加量}{tの増加量} = xの傾き \\
& \frac{yの増加量}{tの増加量} = yの傾き \\
& \frac{zの増加量}{tの増加量} = zの傾き \\
\end{align*}
\]
より一般化して、
\[
\begin{align*}
& \frac{xの変化量}{tの変化量} = xの平均変化率 \\
& \frac{yの変化量}{tの変化量} = yの平均変化率 \\
& \frac{zの変化量}{tの変化量} = zの平均変化率 \\
\end{align*}
\]
平均速度を考えて、
\[
\begin{align*}
& \frac{xの移動した量}{時間} = xの平均速度 \\
& \frac{yの移動した量}{時間} = yの平均速度 \\
& \frac{zの移動した量}{時間} = zの平均速度
\end{align*}
\]
時間を無限にゼロに近づけます。そうすると、「移動している物体のその位置における速度」が得られるという議論です。
速度ベクトルは、ある時刻における\(x\)と\(y\)と\(z\)の速度の変化の様子を示します。
\[ \boldsymbol{v}(t) =
\begin{pmatrix}
\dfrac{d}{dt} x(t) \\
\dfrac{d}{dt} y(t) \\
\dfrac{d}{dt} z(t)
\end{pmatrix}
\]
\[
\boldsymbol{v}(t) = \frac{d}{dt} \boldsymbol{r}(t)
\]
単位を付けます。時間の単位は\([s]\)とします。何かしらの単位は決めないと議論できなくて\([s]\)が適切でしょうということです。
\[ \boldsymbol{v}(t)[m/s] =
\begin{pmatrix}
\dfrac{d}{dt} x(t) [m/s] \\
\dfrac{d}{dt} y(t) [m/s] \\
\dfrac{d}{dt} z(t) [m/s]
\end{pmatrix}
\]
例
位置の変化は下記の図で右上に向かっているとします。簡単のために、高さの移動は考えずに平面の上の移動を考えます。x方向を北、y方向を西として考えて、車でできるだけ等加速度で直進するように運転するとかなり似ている状況にできます。
\(x\)方向の位置の変化を下記とします。
\(y\)方向の位置の変化を下記とします。
この移動について、位置ベクトルは下記で表すことができます。
\[ \boldsymbol{r}(t) =
\begin{pmatrix}
t^2 \\
\dfrac{1}{2} t^2 \\
0
\end{pmatrix}
\]
速度ベクトルは下記となります。
\[ \boldsymbol{v}(t) =
\begin{pmatrix}
2t \\
t \\
0
\end{pmatrix}
\]
加速度
速度の議論と同様にして下記を考えます。
平均加速度を考えて、
\[
\begin{align*}
& \frac{xの速度の変化量}{時間} = xの平均加速度 \\
& \frac{yの速度の変化量}{時間} = yの平均加速度 \\
& \frac{zの速度の変化量}{時間} = zの平均加速度
\end{align*}
\]
加速度ベクトルは、ある時刻における\(x\)と\(y\)と\(z\)の加速度の変化の様子を示します。
\[ \boldsymbol{a}(t) =
\begin{pmatrix}
\dfrac{d^2}{dt^2} x(t) \\
\dfrac{d^2}{dt^2} y(t) \\
\dfrac{d^2}{dt^2} z(t)
\end{pmatrix}
\]
\[
\boldsymbol{a}(t) = \frac{d}{dt} \boldsymbol{v}(t) = \frac{d^2}{dt^2} \boldsymbol{r}(t)
\]
単位を付けます。
理解しやすいのはこちら。
\[ \boldsymbol{a}(t)[\dfrac{m/s}{s}] =
\begin{pmatrix}
\dfrac{d^2}{dt^2} x(t) [\dfrac{m/s}{s}] \\
\dfrac{d^2}{dt^2} y(t) [\dfrac{m/s}{s}] \\
\dfrac{d^2}{dt^2} z(t) [\dfrac{m/s}{s}]
\end{pmatrix}
\]
よく見るのはこちら。
\[ \boldsymbol{a}(t)[m/s^2] =
\begin{pmatrix}
\dfrac{d^2}{dt^2} x(t) [m/s^2] \\
\dfrac{d^2}{dt^2} y(t) [m/s^2] \\
\dfrac{d^2}{dt^2} z(t) [m/s^2]
\end{pmatrix}
\]
例
\(x\)方向の速度の変化を下記とします。
\(y\)方向の速度の変化を下記とします。
この速度の変化について、速度ベクトルは下記で表すことができます。
\[ \boldsymbol{v}(t) =
\begin{pmatrix}
2t \\
t \\
0
\end{pmatrix}
\]
加速度ベクトルは下記となります。
\[ \boldsymbol{a}(t) =
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
お断り
微分積分を使った古典力学なので、中学生、高校生は参考にしないでください。
参考
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