ニュートンの冷却の法則です。
温度差が少ないとき、近似的に使える法則として知られています。
明確な由来は簡単に調べた範囲では不明でした。
ニュートンが実験から「微分方程式で冷却を記述した」らしい。
設定
設定は文献により、一般化していて理解しにくかったり、やたらと具体的な設定をしてあったりと様々です。
ここでは下記とします。
- 十分に広い室内を考える。
- 室内の気温は常に一定と考える。室内の気温を\(T_{room}\)と記述することとする。
- 気温より高い温度の物体の塊を机に置くことを考える。物体は移動はしない。時刻\(t\)の関数として\(f(t)\)で表すこととする。
- 物体の表面積などの詳細はまとめてしまって1つの定数\(k\)で表すとする。
冷えるのみ、とすることで、これから展開する式は簡単になりますが、力学と工学ではきちんと説明している文献が見当たりません。
数学ではきちんと説明されている場合が多いです。数学では微分方程式の一例として紹介されます。
微分方程式
\[
\frac{d}{dt}f(t)=-k(f(t)-T_{room})
\]
\(f(t)-T_{room} \neq 0\)として、これで割ります。
\[
\frac{1}{f(t)-T_{room}}\frac{d}{dt}f(t)=-k
\]
不定積分。
\[
\int \frac{1}{f(t)-T_{room}}\frac{d}{dt}f(t) dt=\int-k dt =-k\int dt
\]
ここで見やすさのために、\(T=f(t)\)とします。
\[
\int \frac{1}{T-T_{room}}dT=-k\int dt
\]
\[
\log |T-T_{room}|+C_{1}=-kt+C_{2}
\]
\(C=C_{2}-C_{1}\)とします。
\[
\log |T-T_{room}|=-kt+C
\]
逆関数の関係。
\[
|T-T_{room}|=e^{-kt+C}
\]
ここで、対象の物体は冷えるのみ、だから\(T-T_{room}\geqq 0\)とします。
\[
T-T_{room}=e^{-kt+C}
\]
\(e^{C}=A\)とします。
\[
T-T_{room}=Ae^{-kt}
\]
時刻ゼロ。
\[
T(0)-T_{room}=Ae^{-k0}=A
\]
\(T(0)=T_{0}\)とします。
\[
\begin{gather}
T-T_{room}=(T_{0}-T_{room})e^{-kt} \\
T=T_{room}+(T_{0}-T_{room})e^{-kt}
\end{gather}
\]
ニュートンの冷却の法則。
\[
f(t)=T_{room}+(T_{0}-T_{room})e^{-kt}
\]
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