一階微分方程式

一階微分方程式です。

準備 1

\[ \frac{d}{dx}f(x) = 0 \]

\[ f(x) = C \]

準備 2

\[ \frac{d}{dx}f(x) = 1 \]

\[ f(x) = x + C \]

準備 3

\[ \frac{d}{dx}f(x) = a \]

\[ f(x) = ax + C \]

準備 4

\[ \frac{d}{dx}f(x) = x \]

\[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + C \]

本番

\[ \frac{d}{dx}f(x) = f(x) \]

\(f(x) \neq 0\)

\[
\begin{align*}
f'(x) &= f(x) \\[8pt]
\frac{f'(x)}{f(x)} &= 1 \\[8pt]
\frac{d}{dx}\ln|f(x)| &= 1 \\[8pt]
\int \frac{d}{dx}\ln|f(x)|dx &= \int 1 dx \\[8pt]
\ln|f(x)| + C_1 &= x + C_2 \\[8pt]
\ln|f(x)| &= x + C_2 – C_1 \\[8pt]
\ln|f(x)| &= x + C_3
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
f(x) &= \pm e^{x + C_3} \\
&= \pm e^{C_3}e^{x}
\end{align*}
\]

\(\pm e^{C_3}\)を\(C\)と置き、下記を得ます。

\[ f(x) = Ce^x \]

厳密な議論はここでは、やりません。

定義 : 線形
下記の一階常微分方程式を\(f(x)\)について線形と定義します。
\[ \frac{d}{dx}f(x) = g(x)f(x) + h(x) \]
\[ \frac{d}{dx}f(x) + g(x)f(x) = h(x) \]
\(f(x)\)と、その微分の項が全て一次の式を線形と定義します。

定義 : 斉次
\[ \frac{d}{dx}f(x) + g(x)f(x)= 0 \]
上記のとき、微分方程式が\(f(x)\)について斉次である。または、同次であると定義します。
線形のとき、かつ\(h(x) = 0\)のときは斉次。
\(g(x) = -1\)でもよいので、下記も\(f(x)\)について斉次です。
\[ \frac{d}{dx}f(x) = f(x) \]
\[ \frac{d}{dx}f(x) – f(x)= 0 \]
\(g(x) = 1\)でもよいので、下記も\(f(x)\)について斉次です。
\[ \frac{d}{dx}f(x) + f(x)= 0 \]
斉次と非斉次に分けるのは、丁寧な分類の意味もあるでしょうが、解法が異なるからでしょう。

定義 : 非斉次
下記は非斉次の1例です。
\[ \frac{d}{dx}f(x) + g(x)f(x)= 1 \]
線形のとき、かつ\(h(x) \neq 0\)のときは非斉次。

定義 : 常微分方程式
一変数の微分方程式。

定義 : 偏微分方程式
多変数の微分方程式。

ですので、上記は一階で線形で斉次で常微分方程式です。あと、定数係数です。

扱いやすさ

非線形より線形の方が扱いやすい。
非斉次より斉次の方が扱いやすい。

その動作を微分方程式で表すことができているとき

下記について\( 0 \lt C \)とします。

\[ f(t) = Ce^t \]

時間の経過とともに必ず正の無限大に発散します。

まとめ

一階の常微分方程式でした。
まだまだ色々ありますが、微分方程式は紹介していると終わらないので、割愛させていただきます。