on Governors
制御理論は、ここから始まった。
回るもの全ての回転の運動方程式
下記について説明します。
Sir W. Thomson’s and M Foucault’s Governors
さすがに図が無いと厳しいので掲載しています。
\(\theta\)は、論文の中でangle of revolutionと説明されています。
\(\phi\)は、論文の中でdivergence of the centrifugal pieceと説明されています。
全てが回る慣性モーメントを\(A\)とします。
回転の運動方程式は下記でした。
古典力学 3 (外積 / 回転の運動方程式)
$$ \frac{d}{dt} \boldsymbol{L}(t) = \boldsymbol{r}(t) \times \boldsymbol{F}(t) $$
\[
\begin{align*}
\frac{d}{dt} \boldsymbol{L}(t) &= \boldsymbol{r}(t) \times \boldsymbol{F}(t) \\
&= \frac{d}{dt} (\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v})
\end{align*}
\]
\[
\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v} = (慣性モーメント)(角速度) = (角運動量)
\]
上記より、
$$ \frac{d}{dt} A \dot{\theta} = \frac{d}{dt}L_{theta} $$
on Governorsでは、本稿で説明している\(\displaystyle \frac{d}{dt}L_{theta} \)を\(L\)としています。
\(A\)は変数\(\phi\)の関数とします。しますというか、できます。遠心力で移動するものしかない想定ですので。
遠心力から生じるちからの運動方程式
$$ \frac{d}{dt} B \dot{\phi} = \frac{d}{dt}L_{phi} $$
遠心力に関連する慣性モーメントを\(B\)とします。
\(B\)は変数\(\phi\)の関数とします。しますというか、できます。遠心力で移動するものしかない想定ですので。
Maxwellの論文では明記されていませんが、Flyballに対する慣性モーメントだと言い切っている人もいます。
ポテンシャルエネルギー
何かしらポテンシャルエネルギーがあると仮定します。
重力でも、ばねでも。
$$ P $$
\(P\)は変数\(\phi\)の関数とします。しますというか、できます。遠心力で移動するものしかない想定ですので。
エネルギー
全てのエネルギーについて考えます。仕事についても考えます。
$$ E = \frac{1}{2}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 + P = \int \frac{d}{dt}L_{theta} d\theta $$
これで、特定の種類のGovernorを表したことになります。
微分する
上式を時間\(t\)で微分します。
全て書きます。
積の微分と、合成関数の微分と、常微分方程式の変数分離、です。
積の微分です。
\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}A(\phi(t))’\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}A(\phi(t))\bigl(\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2\bigr)’ \\
+&\frac{1}{2}B(\phi(t))’\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}B(\phi(t))\bigl(\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2\bigr)’ \\
+&P’
\end{align*}
\]
常微分方程式の変数分離です。
\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\frac{d}{dt}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}A(\phi(t))\bigl(\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2\bigr)’ \\
+&\frac{1}{2}\frac{d}{dt}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}B(\phi(t))\bigl(\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2\bigr)’ \\
+&\frac{d}{dt}P
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}A(\phi(t))\bigl(\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2\bigr)’ \\
+&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}B(\phi(t))\bigl(\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2\bigr)’ \\
+&\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}P
\end{align*}
\]
合成関数の微分です。
\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}A(\phi(t))\bigl(2\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)’\bigr) \\
+&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}B(\phi(t))\bigl(2\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)’\bigr) \\
+&\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}P
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)\bigl(\frac{d}{dt}\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr) \\
+&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)\bigl(\frac{d}{dt}\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr) \\
+&\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}P
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)\bigl(\frac{d^{2}\theta(t)}{dt^{2}}\bigr) \\
+&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)\bigl(\frac{d^{2}\phi(t)}{dt^{2}}\bigr) \\
+&\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}P
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + A(\phi(t))\dot{\theta}(t)\ddot{\theta}(t) \\
+&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + B(\phi(t))\dot{\phi}(t)\ddot{\phi}(t) \\
+&\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}P
\end{align*}
\]
まとめます。
\[
\frac{d\phi}{dt}\bigl(\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2+\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2
+\frac{d}{d\phi}P\bigr) + A(\phi(t))\dot{\theta}(t)\ddot{\theta}(t) + B(\phi(t))\dot{\phi}(t)\ddot{\phi}(t)
\]
次は仕事を時間\(t\)で微分します。置換積分です。
変数を省略していきます。
\[
\begin{align*}
&\frac{d}{dt}\int \frac{d}{dt}L_{theta}(\theta(t)) d\theta \\
&=\frac{d}{dt}\int \frac{d}{dt}\bigl(L_{theta}(\theta(t)) \frac{d\theta}{dt}\bigr)dt \\
&=\frac{d}{dt}L_{theta}(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\
&=\frac{d\theta}{dt}\frac{d}{dt}L_{theta}(\theta(t)) \\
&=\frac{d\theta}{dt}\frac{d}{dt}\bigl(A(\phi(t))\dot{\theta}(t)\bigr) \\
&=\frac{d\theta}{dt}\bigl(\dot{A}\dot{\theta}+A\ddot{\theta}\bigr) \\
&=\frac{d\theta}{dt}\bigl(\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A\frac{d\theta}{dt}+A\ddot{\theta}\bigr)
\end{align*}
\]
左辺と右辺をつなげます。
\[
\frac{d\phi}{dt}\bigl(\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2+\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
+\frac{d}{d\phi}P\bigr) + A\dot{\theta}\ddot{\theta} + B\dot{\phi}\ddot{\phi} = \frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2+A\dot{\theta}\ddot{\theta}
\]
\[
\frac{d\phi}{dt}\bigl(\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2+\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
+\frac{d}{d\phi}P\bigr) + B\dot{\phi}\ddot{\phi} = \frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2
\]
\[
\frac{d\phi}{dt}\bigl(\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2+\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
+\frac{d}{d\phi}P\bigr) + B\frac{d\phi}{dt}\ddot{\phi} = \frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2
\]
\[
\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2+\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
+\frac{d}{d\phi}P + B\ddot{\phi} = \frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2
\]
ここで次について考えます。
\[
\frac{d}{dt}\bigl(B\frac{d\phi}{dt}\bigr) = B’\frac{d\phi}{dt}+B(\frac{d\phi}{dt})’ = \frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}B\frac{d\phi}{dt}+B\ddot{\phi}
= \frac{d}{d\phi}B(\frac{d\phi}{dt})^2 + B\ddot{\phi}
\]
戻ります。
\[
\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 + \frac{d}{d\phi}P + B\ddot{\phi} = \frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
\]
\[
\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 + \frac{d}{d\phi}P + B\ddot{\phi} = \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
\]
\[
\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 + B\ddot{\phi} = \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 – \frac{d}{d\phi}P
\]
これで、下記を得ることができます。
\[
\frac{d}{dt}\bigl(B\frac{d\phi}{dt}\bigr) = \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 – \frac{d}{d\phi}P
\]
整理して回転の運動方程式を立て直しました。
考える
論文では、上式の後に、下記は遠心力をindicateしているという説明のみがあります。
$$ \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 $$
なので、下記は遠心力ポテンシャルとか遠心ポテンシャルと呼ばれる値をindicateしているでしょう。
論文では定数が付いていますが、どうせ微分で消すので書きません。
$$ P = \frac{1}{2}A(\phi)\omega^2 $$
重力とばねは、\(A\)と\(\omega\)が引き受けるしかありません。ほとんどを\(A\)が受けると思います。\(A\)の設計が大変と思いたいところですが、ここでは一変数関数です。雑魚です。
重力もばねも簡単に\(\phi\)で記述できます。\(A\)に勝手に色々な要素を入れていいかは知りませんが、\(\phi\)が決まるたびに、そのときの\(A\)も一意に定まるので、
ある\(\phi\)のときの剛体と見做してそのたびに慣性モーメントを決めても構わないでしょう。
ほぼ一定までになったら、1cmとか5mmとかで重力とばねのポテンシャルエネルギーがどれだけ変わるか、という見方もあると思います。
続き
\[
\frac{d}{dt}\bigl(B\frac{d\phi}{dt}\bigr) = \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2-\omega^2\bigr) + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
\]
論文では、下記でなければならない、と当たり前のことを記述しています。
$$ \dot{\theta} = \omega $$
ここからは、小さな乱れについて考えていきます。
一定は、stと表記します。
微小は、dと表記します。
微少量\(\phi_d\)を引き起こすmain shaftの回転が\(\theta_{st}+\theta_{d}\)であることについてはよく認識しておきましょう。
\[
\begin{align*}
\dot{\theta}_{all} &= \omega + \omega_{d} \\
\theta_{all} &= \theta_{st} + \theta_{d} \\
\phi_{all} &= \phi_{st} + \phi_{d}
\end{align*}
\]
準備をしておきます。
下記は、微小な量です。
$$ \dot{\phi}_{all} = \dot{\phi}_{d} $$
下記は、微分でよくある微小な量と微小な量の積はゼロというやつです。
$$ \dot{\phi}_d\omega_d = 0 $$
下記は、定数の微分がゼロです。
$$ \ddot{\theta}_{st} = 0 $$
また、回転の運動方程式を立てます。
\(L_{all}\)と\(L_{theta}\)は同じです。
\[
\begin{align*}
\frac{d}{dt} L_{all} &= \frac{d}{dt} \bigl( A(\phi) \dot{\theta}_{all} \bigr) \\
&= \frac{d}{dt} \bigl( A(\phi) (\dot{\theta}_{st} + \dot{\theta}_{d}) \bigr) \\
&= \frac{d\phi_d}{dt}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)(\dot{\theta}_{st} + \dot{\theta}_{d}) + A(\phi)(\ddot{\theta}_{st} + \ddot{\theta}_{d}) \\
&= \frac{d\phi_d}{dt}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)(\omega + \omega_{d}) + A(\phi)\ddot{\theta}_{d} \\
&= \frac{d\phi_d}{dt}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\omega + A(\phi)\ddot{\theta}_{d} \\
\end{align*}
\]
\(\phi\)が一定の議論をしたいので下記となります。
\[
\frac{d}{dt} \bigl( B(\phi) \dot{\phi}_d \bigr) = 0
\]
準備をしておきます。
下記は、微分でよくある微小な量と微小な量の積はゼロというやつです。
\[
\begin{align*}
\dot{\phi}_{d}^2 &= 0 \\
\omega_{d}^2 &= 0
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\frac{d}{dt} \bigl(B(\phi)\dot{\phi}_{d}\bigr) &= B(\phi)’\dot{\phi}_{d} + B(\phi)\dot{\phi}_{d}’ \\
&= \frac{d\phi_d}{dt}\frac{d}{d\phi_d}B(\phi)\dot{\phi}_{d} + B(\phi)\ddot{\phi}_d \\
&= \frac{d\phi_d}{dt}\frac{d}{d\phi_d}B(\phi)\dot{\phi} + B(\phi)\ddot{\phi}_{d} \\
&= \frac{d}{d\phi_d}B(\phi)(\frac{d\phi_d}{dt})^2 + B(\phi)\ddot{\phi}_d \\
&= B(\phi)\ddot{\phi}_d \\
&= \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\bigl(\bigl(\frac{d\theta_{all}}{dt}\bigr)^2-\omega^2\bigr) + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi_d}B(\phi)\bigl(\frac{d\phi_d}{dt}\bigr)^2 \\
&= \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\bigl(\bigl(\frac{d\theta_{all}}{dt}\bigr)^2-\omega^2\bigr) \\
&= \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\bigl( (\omega + \omega_{d})^2-\omega^2 \bigr) \\
&= \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\bigl( \omega^2+2\omega\omega_{d}+\omega_{d}^2-\omega^2 \bigr) \\
&= \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\bigl( 2\omega\omega_{d} \bigr) \\
&= \frac{d}{d\phi_d}A(\phi) \omega\omega_{d} \\
&= \frac{d}{d\phi_d}A(\phi) \omega\frac{d\theta_d}{dt} \\
&= 0
\end{align*}
\]
\[
B(\phi)\ddot{\phi}_{d}-\frac{d}{d\phi_d}A(\phi) \omega\frac{d\theta_d}{dt} = 0
\]
整理します。
\[
\begin{align*}
&A(\phi)\ddot{\theta}_{d} + \frac{d\phi_d}{dt}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\omega = \frac{d}{dt} L_{all} \\
&B(\phi)\ddot{\phi}_{d}-\frac{d}{d\phi_d}A(\phi) \omega\frac{d\theta_d}{dt} = 0
\end{align*}
\]
Governorに組み込む
まずは、下記とおきます。
$$ \frac{d}{d\phi_d}A\omega = K $$
下記となります。
\[
\begin{align*}
&A\ddot{\theta}_d + K\frac{d\phi_d}{dt} = \frac{d}{dt} L_{all} \\
&B\ddot{\phi}_{d}-K\omega_d = 0
\end{align*}
\]
main shaftとcentrifugal pieceの動きの中の粘性を仮定して\(X\)と\(Y\)とします。摩擦のようです。
main shaftについて、抵抗となる要素があるとして\(G\)と\(\phi\)の積とします。回転を調整する要素のようです。
\[
\begin{align*}
&A\ddot{\theta}_d + X\dot{\theta}_d + K\dot{\phi}_d + G\phi_d = \frac{d}{dt} L_{all} \\
&B\ddot{\phi}_d + Y\dot{\phi}_{d}-K\dot{\theta}_d = 0
\end{align*}
\]
代数的な式変形をします。
\[B \ddot{\phi}_d + Y\dot{\phi}_{d} = K\dot{\theta}_d \]
\[
\begin{align*}
A\frac{d}{dt}\frac{B\ddot{\phi}_{d}+Y\dot{\phi}_{d}}{K}+X\frac{B\ddot{\phi}_{d}+Y\dot{\phi}_{d}}{K}+K\dot{\phi}_{d}+G\phi_{d}&=\frac{d}{dt}L_{all} \\
A \frac{d}{dt} (B\ddot{\phi}_d + Y\dot{\phi}_{d}) + X (B\ddot{\phi}_d + Y\dot{\phi}_{d}) + K^{2}\dot{\phi}_d + GK\phi_d &= \dot{L}_{all}K \\
A (B\dddot{\phi}_d + Y\ddot{\phi}_{d}) + X (B\ddot{\phi}_d + Y\dot{\phi}_{d}) + K^{2}\dot{\phi}_d + GK\phi_d &= \dot{L}_{all}K \\[6pt]
AB\dddot{\phi}_d + (AY+BX)\ddot{\phi}_{d} + (XY+K^{2})\dot{\phi}_{d} + GK\phi_d &= \dot{L}_{all}K
\end{align*}
\]
さすがに代数的な式変形で問題ないでしょう。
非斉次ですが、三階線形常微分方程式を得ることが出来ました。
斉次にする (斉次になる(と考える))
\({L}_{all}\)は角運動量です。
final velocity is constantとします。なので、下記とします。
\[ \frac{d}{dt} {L}_{all} = 0 \]
こうなります。
final velocity is constantとして、定数係数三階線形斉次常微分方程式と考えます。
\[
AB\dddot{\phi}_d + (AY+BX)\ddot{\phi}_{d} + (XY+K^{2})\dot{\phi}_{d} + GK\phi_d = 0
\]
特性方程式です。
\[
AB\lambda^3 + (AY+BX)\lambda^2 + (XY+K^{2})\lambda + GK = 0
\]
安定
時間経過により収束することための条件が、根の実部が負であることは下記を参照ください。
定数係数一階線形斉次常微分方程式
特性方程式です。
\[
\lambda + s = 0
\]
\[
\begin{gather}
r_1 \in \mathbb{R} \\
\lambda + s = \lambda- r_1 \therefore s =-r_1
\end{gather}
\]
\[
r_1 \lt 0 \Leftrightarrow s \gt 0
\]
\[
\therefore s \gt 0
\]
定数sを正にする設計をすると安定させることができます。
定数係数二階線形斉次常微分方程式
特性方程式です。
\[
\lambda^2 + s\lambda + t = 0
\]
先に判別式を考えます。
判別式が正またはゼロのとき、根は実数のみ。
判別式が負のとき、根は虚数を含む。
根を実数として因数分解します。
\[
\begin{gather}
r_1,r_2 \in \mathbb{R} \\
\lambda^2 + s\lambda + t = (\lambda- r_1)(\lambda- r_2) = \lambda^{2}-(r_1+r_2)\lambda+r_{1}r_2
\end{gather}
\]
\[
\begin{align*}
s &=-(r_1 + r_2) \\
t &= r_{1}r_2 \\
\end{align*}
\]
\[
r_1 \lt 0 , r_2 \lt 0 \Leftrightarrow s \gt 0 , t \gt 0
\]
\[
\therefore s \gt 0 , t \gt 0
\]
根が虚数を含む場合も同じ結果となります。省略します。
定数sと定数tを正にする設計をすると安定させることができます。
定数係数三階線形斉次常微分方程式
特性方程式です。
\[
\lambda^3 + s\lambda^2 + t\lambda + u = 0
\]
同様にして全ての根の実部が負になる条件を導き出します。省略します。
\[
s \gt 0 , t \gt 0 , u \gt 0, st-u \gt 0
\]
\[
\lambda^3 + \frac{AY+BX}{AB}\lambda^2 + \frac{XY+K^{2}}{AB}\lambda + \frac{GK}{AB} = 0
\]
\[
\frac{AY+BX}{AB} > 0, \frac{XY+K^{2}}{AB} > 0, \frac{GK}{AB} > 0, \frac{AY+BX}{AB}\frac{XY+K^{2}}{AB}- \frac{GK}{AB} > 0
\]
\[
\frac{AY+BX}{AB} > 0, \frac{XY+K^{2}}{AB} > 0, \frac{GK}{AB} > 0, (\frac{Y}{B}+\frac{X}{A})(XY+K^{2}) > GK
\]
これで欲しい条件を得ることができました。
定数係数四階線形斉次常微分方程式
同様にして全ての根の実部が負になる条件を導き出します。省略します。
定数係数五階線形斉次常微分方程式
5以上は、この方法では導けないとのことです。
定数係数n階線形斉次常微分方程式
Routhの証明は英語の本であればわかりやすい説明が見つかるようです。
基本的な考えは、やはり因数分解から攻めるようです。
まとめ
現実を近似して定数係数線形(斉次)常微分方程式で記述できれば、安定について議論ができる(Huntingし続けてどうにもならない設計を、
全体を整理しないで根拠を明確にしないまま修正し続けることをやめさせる)ことをMaxwellが示しました。
因みに
\(A\)や\(B\)は定数と見做すことにして、下記がほぼ横ばいを示す場合などは非斉次であっても何の問題もなく、特性方程式の根で安定を議論できるはずです。
\[
\dot{L}_{all}K
\]
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