古典制御理論 10

on Governors

制御理論は、ここから始まった。

回るもの全ての回転の運動方程式

下記について説明します。

Sir W. Thomson’s and M Foucault’s Governors

001

さすがに図が無いと厳しいので掲載しています。
\(\theta\)は、論文の中でangle of revolutionと説明されています。
\(\phi\)は、論文の中でdivergence of the centrifugal pieceと説明されています。

全てが回る慣性モーメントを\(A\)とします。
回転の運動方程式は下記でした。
古典力学 3 (外積 / 回転の運動方程式)

$$ \frac{d}{dt} \boldsymbol{L}(t) = \boldsymbol{r}(t) \times \boldsymbol{F}(t) $$

\[
\begin{align*}
\frac{d}{dt} \boldsymbol{L}(t) &= \boldsymbol{r}(t) \times \boldsymbol{F}(t) \\
&= \frac{d}{dt} (\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v})
\end{align*}
\]

\[
\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v} = (慣性モーメント)(角速度) = (角運動量)
\]

上記より、

$$ \frac{d}{dt} A \dot{\theta} = \frac{d}{dt}L_{theta} $$

on Governorsでは、本稿で説明している\(\displaystyle \frac{d}{dt}L_{theta} \)を\(L\)としています。

\(A\)は変数\(\phi\)の関数とします。しますというか、できます。遠心力で移動するものしかない想定ですので。

遠心力から生じるちからの運動方程式

$$ \frac{d}{dt} B \dot{\phi} = \frac{d}{dt}L_{phi} $$

遠心力に関連する慣性モーメントを\(B\)とします。
\(B\)は変数\(\phi\)の関数とします。しますというか、できます。遠心力で移動するものしかない想定ですので。

Maxwellの論文では明記されていませんが、Flyballに対する慣性モーメントだと言い切っている人もいます。

ポテンシャルエネルギー

何かしらポテンシャルエネルギーがあると仮定します。
重力でも、ばねでも。

$$ P $$

\(P\)は変数\(\phi\)の関数とします。しますというか、できます。遠心力で移動するものしかない想定ですので。

エネルギー

全てのエネルギーについて考えます。仕事についても考えます。

$$ E = \frac{1}{2}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 + P = \int \frac{d}{dt}L_{theta} d\theta $$

これで、特定の種類のGovernorを表したことになります。

微分する

上式を時間\(t\)で微分します。

全て書きます。
積の微分と、合成関数の微分と、常微分方程式の変数分離、です。

積の微分です。

\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}A(\phi(t))’\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}A(\phi(t))\bigl(\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2\bigr)’ \\
+&\frac{1}{2}B(\phi(t))’\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}B(\phi(t))\bigl(\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2\bigr)’ \\
+&P’
\end{align*}
\]

常微分方程式の変数分離です。

\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\frac{d}{dt}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}A(\phi(t))\bigl(\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2\bigr)’ \\
+&\frac{1}{2}\frac{d}{dt}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}B(\phi(t))\bigl(\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2\bigr)’ \\
+&\frac{d}{dt}P
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}A(\phi(t))\bigl(\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2\bigr)’ \\
+&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}B(\phi(t))\bigl(\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2\bigr)’ \\
+&\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}P
\end{align*}
\]

合成関数の微分です。

\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}A(\phi(t))\bigl(2\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)’\bigr) \\
+&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}B(\phi(t))\bigl(2\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)’\bigr) \\
+&\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}P
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)\bigl(\frac{d}{dt}\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr) \\
+&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)\bigl(\frac{d}{dt}\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr) \\
+&\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}P
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)\bigl(\frac{d^{2}\theta(t)}{dt^{2}}\bigr) \\
+&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)\bigl(\frac{d^{2}\phi(t)}{dt^{2}}\bigr) \\
+&\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}P
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2 + A(\phi(t))\dot{\theta}(t)\ddot{\theta}(t) \\
+&\frac{1}{2}\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2 + B(\phi(t))\dot{\phi}(t)\ddot{\phi}(t) \\
+&\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}P
\end{align*}
\]

まとめます。

\[
\frac{d\phi}{dt}\bigl(\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A(\phi(t))\bigl(\frac{d\theta(t)}{dt}\bigr)^2+\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B(\phi(t))\bigl(\frac{d\phi(t)}{dt}\bigr)^2
+\frac{d}{d\phi}P\bigr) + A(\phi(t))\dot{\theta}(t)\ddot{\theta}(t) + B(\phi(t))\dot{\phi}(t)\ddot{\phi}(t)
\]

次は仕事を時間\(t\)で微分します。置換積分です。
変数を省略していきます。

\[
\begin{align*}
&\frac{d}{dt}\int \frac{d}{dt}L_{theta}(\theta(t)) d\theta \\
&=\frac{d}{dt}\int \frac{d}{dt}\bigl(L_{theta}(\theta(t)) \frac{d\theta}{dt}\bigr)dt \\
&=\frac{d}{dt}L_{theta}(\theta(t))\frac{d\theta}{dt} \\
&=\frac{d\theta}{dt}\frac{d}{dt}L_{theta}(\theta(t)) \\
&=\frac{d\theta}{dt}\frac{d}{dt}\bigl(A(\phi(t))\dot{\theta}(t)\bigr) \\
&=\frac{d\theta}{dt}\bigl(\dot{A}\dot{\theta}+A\ddot{\theta}\bigr) \\
&=\frac{d\theta}{dt}\bigl(\frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A\frac{d\theta}{dt}+A\ddot{\theta}\bigr)
\end{align*}
\]

左辺と右辺をつなげます。

\[
\frac{d\phi}{dt}\bigl(\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2+\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
+\frac{d}{d\phi}P\bigr) + A\dot{\theta}\ddot{\theta} + B\dot{\phi}\ddot{\phi} = \frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2+A\dot{\theta}\ddot{\theta}
\]

\[
\frac{d\phi}{dt}\bigl(\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2+\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
+\frac{d}{d\phi}P\bigr) + B\dot{\phi}\ddot{\phi} = \frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2
\]

\[
\frac{d\phi}{dt}\bigl(\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2+\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
+\frac{d}{d\phi}P\bigr) + B\frac{d\phi}{dt}\ddot{\phi} = \frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2
\]

\[
\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2+\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
+\frac{d}{d\phi}P + B\ddot{\phi} = \frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2
\]

ここで次について考えます。

\[
\frac{d}{dt}\bigl(B\frac{d\phi}{dt}\bigr) = B’\frac{d\phi}{dt}+B(\frac{d\phi}{dt})’ = \frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}B\frac{d\phi}{dt}+B\ddot{\phi}
= \frac{d}{d\phi}B(\frac{d\phi}{dt})^2 + B\ddot{\phi}
\]

戻ります。

\[
\frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 + \frac{d}{d\phi}P + B\ddot{\phi} = \frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
\]

\[
\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 + \frac{d}{d\phi}P + B\ddot{\phi} = \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
\]

\[
\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 + B\ddot{\phi} = \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 – \frac{d}{d\phi}P
\]

これで、下記を得ることができます。

\[
\frac{d}{dt}\bigl(B\frac{d\phi}{dt}\bigr) = \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 – \frac{d}{d\phi}P
\]

整理して回転の運動方程式を立て直しました。

考える

論文では、上式の後に、下記は遠心力をindicateしているという説明のみがあります。

$$ \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2 + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2 $$

なので、下記は遠心力ポテンシャルとか遠心ポテンシャルと呼ばれる値をindicateしているでしょう。
論文では定数が付いていますが、どうせ微分で消すので書きません。
$$ P = \frac{1}{2}A(\phi)\omega^2 $$

重力とばねは、\(A\)と\(\omega\)が引き受けるしかありません。ほとんどを\(A\)が受けると思います。\(A\)の設計が大変と思いたいところですが、ここでは一変数関数です。雑魚です。
重力もばねも簡単に\(\phi\)で記述できます。\(A\)に勝手に色々な要素を入れていいかは知りませんが、\(\phi\)が決まるたびに、そのときの\(A\)も一意に定まるので、ある\(\phi\)のときの剛体と見做してそのたびに慣性モーメントを決めても構わないでしょう。
ほぼ一定までになったら、1cmとか5mmとかで重力とばねのポテンシャルエネルギーがどれだけ変わるか、という見方もあると思います。

続き

\[
\frac{d}{dt}\bigl(B\frac{d\phi}{dt}\bigr) = \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}A\bigl(\bigl(\frac{d\theta}{dt}\bigr)^2-\omega^2\bigr) + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi}B\bigl(\frac{d\phi}{dt}\bigr)^2
\]

論文では、下記でなければならない、と当たり前のことを記述しています。

$$ \dot{\theta} = \omega $$

ここからは、小さな乱れについて考えていきます。

002

一定は、stと表記します。
微小は、dと表記します。

微少量\(\phi_d\)を引き起こすmain shaftの回転が\(\theta_{st}+\theta_{d}\)であることについてはよく認識しておきましょう。

\[
\begin{align*}
\dot{\theta}_{all} &= \omega + \omega_{d} \\
\theta_{all} &= \theta_{st} + \theta_{d} \\
\phi_{all} &= \phi_{st} + \phi_{d}
\end{align*}
\]

準備をしておきます。

下記は、微小な量です。

$$ \dot{\phi}_{all} = \dot{\phi}_{d} $$

下記は、微分でよくある微小な量と微小な量の積はゼロというやつです。

$$ \dot{\phi}_d\omega_d = 0 $$

下記は、定数の微分がゼロです。

$$ \ddot{\theta}_{st} = 0 $$

また、回転の運動方程式を立てます。
\(L_{all}\)と\(L_{theta}\)は同じです。

\[
\begin{align*}
\frac{d}{dt} L_{all} &= \frac{d}{dt} \bigl( A(\phi) \dot{\theta}_{all} \bigr) \\
&= \frac{d}{dt} \bigl( A(\phi) (\dot{\theta}_{st} + \dot{\theta}_{d}) \bigr) \\
&= \frac{d\phi_d}{dt}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)(\dot{\theta}_{st} + \dot{\theta}_{d}) + A(\phi)(\ddot{\theta}_{st} + \ddot{\theta}_{d}) \\
&= \frac{d\phi_d}{dt}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)(\omega + \omega_{d}) + A(\phi)\ddot{\theta}_{d} \\
&= \frac{d\phi_d}{dt}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\omega + A(\phi)\ddot{\theta}_{d} \\
\end{align*}
\]

\(\phi\)が一定の議論をしたいので下記となります。

\[
\frac{d}{dt} \bigl( B(\phi) \dot{\phi}_d \bigr) = 0
\]

準備をしておきます。

下記は、微分でよくある微小な量と微小な量の積はゼロというやつです。

\[
\begin{align*}
\dot{\phi}_{d}^2 &= 0 \\
\omega_{d}^2 &= 0
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\frac{d}{dt} \bigl(B(\phi)\dot{\phi}_{d}\bigr) &= B(\phi)’\dot{\phi}_{d} + B(\phi)\dot{\phi}_{d}’ \\
&= \frac{d\phi_d}{dt}\frac{d}{d\phi_d}B(\phi)\dot{\phi}_{d} + B(\phi)\ddot{\phi}_d \\
&= \frac{d\phi_d}{dt}\frac{d}{d\phi_d}B(\phi)\dot{\phi} + B(\phi)\ddot{\phi}_{d} \\
&= \frac{d}{d\phi_d}B(\phi)(\frac{d\phi_d}{dt})^2 + B(\phi)\ddot{\phi}_d \\
&= B(\phi)\ddot{\phi}_d \\
&= \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\bigl(\bigl(\frac{d\theta_{all}}{dt}\bigr)^2-\omega^2\bigr) + \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi_d}B(\phi)\bigl(\frac{d\phi_d}{dt}\bigr)^2 \\
&= \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\bigl(\bigl(\frac{d\theta_{all}}{dt}\bigr)^2-\omega^2\bigr) \\
&= \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\bigl( (\omega + \omega_{d})^2-\omega^2 \bigr) \\
&= \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\bigl( \omega^2+2\omega\omega_{d}+\omega_{d}^2-\omega^2 \bigr) \\
&= \frac{1}{2}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\bigl( 2\omega\omega_{d} \bigr) \\
&= \frac{d}{d\phi_d}A(\phi) \omega\omega_{d} \\
&= \frac{d}{d\phi_d}A(\phi) \omega\frac{d\theta_d}{dt} \\
&= 0
\end{align*}
\]

\[
B(\phi)\ddot{\phi}_{d}-\frac{d}{d\phi_d}A(\phi) \omega\frac{d\theta_d}{dt} = 0
\]

整理します。

\[
\begin{align*}
&A(\phi)\ddot{\theta}_{d} + \frac{d\phi_d}{dt}\frac{d}{d\phi_d}A(\phi)\omega = \frac{d}{dt} L_{all} \\
&B(\phi)\ddot{\phi}_{d}-\frac{d}{d\phi_d}A(\phi) \omega\frac{d\theta_d}{dt} = 0
\end{align*}
\]

Governorに組み込む

まずは、下記とおきます。

$$ \frac{d}{d\phi_d}A\omega = K $$

下記となります。
\[
\begin{align*}
&A\ddot{\theta}_d + K\frac{d\phi_d}{dt} = \frac{d}{dt} L_{all} \\
&B\ddot{\phi}_{d}-K\omega_d = 0
\end{align*}
\]

main shaftとcentrifugal pieceの動きの中の粘性を仮定して\(X\)と\(Y\)とします。摩擦のようです。
main shaftについて、抵抗となる要素があるとして\(G\)と\(\phi\)の積とします。回転を調整する要素のようです。

\[
\begin{align*}
&A\ddot{\theta}_d + X\dot{\theta}_d + K\dot{\phi}_d + G\phi_d = \frac{d}{dt} L_{all} \\
&B\ddot{\phi}_d + Y\dot{\phi}_{d}-K\dot{\theta}_d = 0
\end{align*}
\]

代数的な式変形をします。

\[B \ddot{\phi}_d + Y\dot{\phi}_{d} = K\dot{\theta}_d \]

\[
\begin{align*}
A\frac{d}{dt}\frac{B\ddot{\phi}_{d}+Y\dot{\phi}_{d}}{K}+X\frac{B\ddot{\phi}_{d}+Y\dot{\phi}_{d}}{K}+K\dot{\phi}_{d}+G\phi_{d}&=\frac{d}{dt}L_{all} \\
A \frac{d}{dt} (B\ddot{\phi}_d + Y\dot{\phi}_{d}) + X (B\ddot{\phi}_d + Y\dot{\phi}_{d}) + K^{2}\dot{\phi}_d + GK\phi_d &= \dot{L}_{all}K \\
A (B\dddot{\phi}_d + Y\ddot{\phi}_{d}) + X (B\ddot{\phi}_d + Y\dot{\phi}_{d}) + K^{2}\dot{\phi}_d + GK\phi_d &= \dot{L}_{all}K \\[6pt]
AB\dddot{\phi}_d + (AY+BX)\ddot{\phi}_{d} + (XY+K^{2})\dot{\phi}_{d} + GK\phi_d &= \dot{L}_{all}K
\end{align*}
\]

さすがに代数的な式変形で問題ないでしょう。
非斉次ですが、三階線形常微分方程式を得ることが出来ました。

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