初等関数

初等関数について説明します。

初等関数

初等関数とは、ざっくり、1変数関数のことです。

英語では、elementary functionです。

elementary particleが素粒子のことなので、初等の(日本では小学校を表すことも多い)、初級の、というより、基本の(もっと言うと、最小単位という意味合い)、という意味で使われているかと思います。

初等関数の例

\[
\begin{align*}
& x \\
& x^2 \\
& x^3 \\
& x^4
\end{align*}
\]

$$ ax+bx^2+cx^3+dx^4 $$

$$ \frac{ax+bx^2+cx^3+dx^4}{ex^5+fx^6+gx^7+hx^8} $$

\[
\begin{align*}
sin(x) \\
cos(x)
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
2^x \\
e^x
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
log_2(x) \\
log_e(x)
\end{align*}
\]

\(x\)が決まると、\(y\)が決まります。
ここで示している初等関数は初等関数の一部です。(逆三角関数なども初等関数です。)

一次関数

英語では、linear functionです。形が線なので、linearです。(ですが、\(b \neq 0\)のときは線形写像ではありません。\(b = 0\)のときは線形写像です。)

一次関数は次数が1の多項式で表される関数です。

\[
\begin{align*}
& y = ax + b
\end{align*}
\]

n次関数

一次関数は次数が1の多項式で表される関数、二次関数は次数が2の多項式で表される関数、三次関数は次数が3の多項式で表される関数です。

\[
\begin{align*}
& y = ax + b \\
& y = ax^2 + bx + c \\
& y = ax^3 + bx^2 + cx + d
\end{align*}
\]

三角関数

sinとcosは定義なのですが、弦と余角の定義から導出します。手で描いてください。慣れると30秒かかりません。
ほとんど暗記の必要はありません。三角関数の定義と定理は、中学生でも高校生でも、大体その場で導出できます。

sinの定義です。sineの略です。

001

  • 単位円を描きます。
  • 円の中心から円周に対して2本の線を引きます。角度を\(2\theta\)とします。
  • 円周上の2点を結びます。

弦を描きました。このとき、弦が\(y\)軸に対して平行になるように2本の線を引いておくと、わかりやすくなります。\(y\)軸を斜めに描いても全く同じですが、だいぶ変わった行動と思います。\(2\theta\)に対する弦を描きました、と言うと、次に何をやるかが自明になります。

002

  • 円の中心から弦に対して直角になるように線を引きます。二等辺三角形を二等分します。角度が1/2、弦の長さが1/2になります。これを\(\theta\)に対する正弦と定義します。sinです。弦ではありません、正弦です。必ず長さについて、\( 0 \lt \theta \lt \pi \)のとき、正弦<弦が成り立ちます。弦ではありません、正弦です。

単位円なので、円周上の点を\(P(x,y)\)とすると、\(sin \theta =y\)になります。
ここまでは\(x\)軸と\(y\)軸を書かなくも大丈夫と思います。

cosの定義です。cosineの略です。coは数学では、余、補、を表します。直角三角形では、注目している角(ここでは\(\theta\))に対して直角ではない角を余角と呼びます。補角は、直線に対する外角(例. \(\theta\)が\(30^{\circ}\)のとき、補角は\(150^{\circ}\))です。

003

  • 点Pから円の中心を通り、反対側の円周にぶつかるまで線を引きます。弦を引きます。余角を\(\zeta\)とすると、\(2\zeta\)に対する弦になります。後は正弦と全く同じです。これを\(\theta\)に対する余弦と定義します。これを\(\theta\)の余角に対する正弦と定義します、と言うと逆に混乱するでしょうか。cosです。
  • \(y\)軸が補助線の役割をしています。

単位円なので、円周上の点を\(P(x,y)\)とすると、\(cos \theta =x\)になります。

自分にはこの方法が合っています。単位円と直角三角形を考えることが肝心と思いますが、正弦、余弦とされると、やはり言葉通りに弦を軸に考えたいと思ってしまいます。

\(2\theta\)に対する弦はまさしく弦なので誰でもわかるかと思いますが、\(\theta\)に対する正弦はちょっと頭をひねります。慣れたら、大部分を頭の中で完結させると、下記の図をさっと描いて終わりにできます。あと4本くらい線を描いても数秒と思います。

004

\(x\)軸に垂直な弦を考えるとされれば、その通りで、余弦も同様、とできるのもわかります。

\(tan \theta \)は、傾きなので、\(tan \theta = \dfrac{sin \theta }{cos \theta }\)です。

初等関数の話しなので、三角関数の話しはここまでとします。

まとめ

デカルト座標、最強。

次は微分です。

お断り

いい加減に書いています。自分で責任を取れる人の仕事の参考にと思って書いています。絶対に大学受験、高校受験の参考にはしないでください。成績を上げるためには、予備校、Z会、を利用してください。

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