微分

微分について説明します。

微分の定義

微分は定義です。(微分の定義は複数あります。大学では両端も扱います。)

古典力学、ディープラーニング、カルマンフィルター、どれでも使います。

\( h \)は横幅です。微小な横幅\( \Delta x \)です。
\( I \)から\( x_0 \)を取ってきて、\( x_0+h \)の\(h\)を小さくすることを考えます。

一次関数の場合の傾きは、とても簡単で、下記です。
$$ \frac{yの増加分}{xの増加分} $$
但し、話しをもっと簡単にするために、ここでは\( y = ax (a \gt 0) \)とします。\( x = b (b \in \mathbb{R}) \)も、\( y = c (c \in \mathbb{R}) \)も、考えません。

\( y = 2x \)の傾きは\(2\)。\(x\)が\(1\)増えるとき、\(y\)が\(2\)増える一次関数。\( y = 2x + b \)の場合も同じ議論。

考え方は同じで、曲線となる関数の傾きを考えます。
$$ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0} $$
\(h\)を無限に小さくします。
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0} $$
\( h \)に\( x-x_0 \)を入れると下記となります。\( x-x_0 \to 0 \)と\( x \to x_0 \)は同じ。ちょっとした式変形に過ぎないのですが、きちんと書いてくれ、と思います。
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+(x-x_0))-f(x_0)}{(x_0+(x-x_0))-x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$

開区間なので、両端の微分は考えません。

微分の定義を数値微分で検証する

微小区間の傾きということについて、1つの方法を紹介します。

\( y=x^2 \)について、始めに\( x=1 \)と\( x=2 \)のときについて考えます。
\( x=1 \)のとき、\( y=1 \)です。
\( x=2 \)のとき、\( y=4 \)です。
\( (1,1) \)から\( (2,4) \)への直線の傾きは、
$$ \frac{4-1}{2-1} = 3 $$
です。

次に\( x=1 \)と\( x=1+(1/2) \)について考えます。横幅を半分にしています。
\( x=1 \)のとき、\( y=1 \)です。
\( x=1+(1/2) \)のとき、\( y=(1+(1/2))^2 = 9/4 \)です。
$$ \frac{\frac{9}{4} -1}{1+ \frac{1}{2} -1} = 2+ \frac{1}{2} $$
です。

次に\( x=1 \)と\( x=1+(1/4) \)について考えます。横幅を半分にしています。
\( x=1 \)のとき、\( y=1 \)です。
\( x=1+(1/4) \)のとき、\( y = (1+(1/4))^2 = 25/16 \)です。
$$ \frac{\frac{25}{16} -1}{1+ \frac{1}{4} -1} = 2+ \frac{1}{4} $$
です。

あとは、Pythonでやります。

tmp.py

from decimal import Decimal, getcontext

getcontext().prec = 150

for i in range(1,300):
    d = Decimal('1') / Decimal("%d" % 2 ** i)

    print( (((Decimal('1')+d) * (Decimal('1')+d)) - Decimal('1')) / ((Decimal('1')+d) - Decimal('1')) )

dはdeltaの省略としている変数名です。

結果です。

2.5
2.25
2.125
2.0625
2.03125
2.015625
2.0078125
2.00390625
2.001953125
2.0009765625
2.00048828125
2.000244140625
2.0001220703125
2.00006103515625
2.000030517578125
2.0000152587890625
2.00000762939453125
2.000003814697265625
2.0000019073486328125
2.00000095367431640625
2.000000476837158203125
2.0000002384185791015625
2.00000011920928955078125
2.000000059604644775390625
2.0000000298023223876953125
2.00000001490116119384765625
2.000000007450580596923828125
2.0000000037252902984619140625
2.00000000186264514923095703125
2.000000000931322574615478515625
2.0000000004656612873077392578125
2.00000000023283064365386962890625
2.000000000116415321826934814453125
2.0000000000582076609134674072265625
2.00000000002910383045673370361328125
2.000000000014551915228366851806640625
2.0000000000072759576141834259033203125
2.00000000000363797880709171295166015625
2.000000000001818989403545856475830078125
2.0000000000009094947017729282379150390625
2.00000000000045474735088646411895751953125
2.000000000000227373675443232059478759765625
2.0000000000001136868377216160297393798828125
2.00000000000005684341886080801486968994140625
2.000000000000028421709430404007434844970703125
2.0000000000000142108547152020037174224853515625
2.00000000000000710542735760100185871124267578125
2.000000000000003552713678800500929355621337890625
2.0000000000000017763568394002504646778106689453125
2.00000000000000088817841970012523233890533447265625
2.000000000000000444089209850062616169452667236328125
2.0000000000000002220446049250313080847263336181640625
2.00000000000000011102230246251565404236316680908203125
2.000000000000000055511151231257827021181583404541015625
2.0000000000000000277555756156289135105907917022705078125
2.00000000000000001387778780781445675529539585113525390625
2.000000000000000006938893903907228377647697925567626953125
2.0000000000000000034694469519536141888238489627838134765625
2.00000000000000000173472347597680709441192448139190673828125
2.000000000000000000867361737988403547205962240695953369140625
2.0000000000000000004336808689942017736029811203479766845703125
2.00000000000000000021684043449710088680149056017398834228515625
2.000000000000000000108420217248550443400745280086994171142578125
2.0000000000000000000542101086242752217003726400434970855712890625
2.00000000000000000002710505431213761085018632002174854278564453125
2.000000000000000000013552527156068805425093160010874271392822265625
2.0000000000000000000067762635780344027125465800054371356964111328125
2.00000000000000000000338813178901720135627329000271856784820556640625
2.000000000000000000001694065894508600678136645001359283924102783203125
2.0000000000000000000008470329472543003390683225006796419620513916015625
2.00000000000000000000042351647362715016953416125033982098102569580078125
2.000000000000000000000211758236813575084767080625169910490512847900390625
2.0000000000000000000001058791184067875423835403125849552452564239501953125
2.00000000000000000000005293955920339377119177015629247762262821197509765625
2.00000000000000000000002646977960169688559588507814623881131410598754882812499999999999999999999999999999999999999999999999999981110534068521419145216
2.00000000000000000000001323488980084844279794253907311940565705299377441406250000000000000000000000000000000000000000000000000028334198897217871282176
2.00000000000000000000000661744490042422139897126953655970282852649688720703125000000000000000000000000000000000000000000000000051946031311566097350656
2.00000000000000000000000330872245021211069948563476827985141426324844360351562500000000000000000000000000000000000000000000000025973015655783048675328
2.0000000000000000000000016543612251060553497428173841399257071316242218017578124999999999999999999999999999999999999999999999971075505292423423066112
2.00000000000000000000000082718061255302767487140869206996285356581211090087890625000000000000000000000000000000000000000000000459840436269431702683648
2.00000000000000000000000041359030627651383743570434603498142678290605545043945312499999999999999999999999999999999999999999999625457308327401263988736
2.00000000000000000000000020679515313825691871785217301749071339145302772521972656249999999999999999999999999999999999999999999812728654163700631994368
2.00000000000000000000000010339757656912845935892608650874535669572651386260986328124999999999999999999999999999999999999999997488512687852591966584832
2.0000000000000000000000000516987882845642296794630432543726783478632569313049316406250000000000000000000000000000000000000000357995962238481268211712
2.00000000000000000000000002584939414228211483973152162718633917393162846565246582031249999999999999999999999999999999999999992118573254275372943409152
2.00000000000000000000000001292469707114105741986576081359316958696581423282623291015625000000000000000000000000000000000000015402099740971753267003392
2.00000000000000000000000000646234853557052870993288040679658479348290711641311645507812500000000000000000000000000000000000046386676098154010224099328
2.00000000000000000000000000323117426778526435496644020339829239674145355820655822753906250000000000000000000000000000000000023193338049077005112049664
2.0000000000000000000000000016155871338926321774832201016991461983707267791032791137695312500000000000000000000000000000000016633917393521103691841536
2.00000000000000000000000000080779356694631608874161005084957309918536338955163955688476562500000000000000000000000000000000392654596788950587183988736
2.0000000000000000000000000004038967834731580443708050254247865495926816947758197784423828125000000000000000000000000000000081529731803716543104155648
2.00000000000000000000000000020194839173657902218540251271239327479634084738790988922119140625000000000000000000000000000001645588698303962990419902464
2.00000000000000000000000000010097419586828951109270125635619663739817042369395494461059570312500000000000000000000000000000822794349151981495209951232
2.0000000000000000000000000000504870979341447555463506281780983186990852118469774723052978515624999999999999999999999999999545963701743446964800847872
2.00000000000000000000000000002524354896707237777317531408904915934954260592348873615264892578125000000000000000000000000007633338823000277023197233152
2.00000000000000000000000000001262177448353618888658765704452457967477130296174436807632446289062499999999999999999999999984009628782934054113212628992
2.00000000000000000000000000000631088724176809444329382852226228983738565148087218403816223144531250000000000000000000000031618895648599195853378289664
2.00000000000000000000000000000315544362088404722164691426113114491869282574043609201908111572265625000000000000000000000095037610338563935520233095168
2.00000000000000000000000000000157772181044202361082345713056557245934641287021804600954055786132812500000000000000000000047518805169281967760116547584
2.00000000000000000000000000000078886090522101180541172856528278622967320643510902300477027893066406249999999999999999999706846752527583633505882472448
2.00000000000000000000000000000039443045261050590270586428264139311483660321755451150238513946533203124999999999999999999853423376263791816752941236224
2.00000000000000000000000000000019721522630525295135293214132069655741830160877725575119256973266601562500000000000000002462012888588354711369877028864
2.00000000000000000000000000000009860761315262647567646607066034827870915080438862787559628486633300781249999999999999996160404043381259749698125692928
2.00000000000000000000000000000004930380657631323783823303533017413935457540219431393779814243316650390625000000000000003150804422603547480835875667968
2.00000000000000000000000000000002465190328815661891911651766508706967728770109715696889907121658325195312500000000000001575402211301773740417937833984
2.00000000000000000000000000000001232595164407830945955825883254353483864385054857848444953560829162597656250000000000000787701105650886870208968916992
2.00000000000000000000000000000000616297582203915472977912941627176741932192527428924222476780414581298828124999999999959829031345522102587209981886464
2.00000000000000000000000000000000308148791101957736488956470813588370966096263714462111238390207290649414062499999999898784877258154369597815985799168
2.00000000000000000000000000000000154074395550978868244478235406794185483048131857231055619195103645324707031250000000111651715458290548190486003187712
2.00000000000000000000000000000000077037197775489434122239117703397092741524065928615527809597551822662353515625000000055825857729145274095243001593856
2.00000000000000000000000000000000038518598887744717061119558851698546370762032964307763904798775911331176757812500000027912928864572637047621500796928
2.00000000000000000000000000000000019259299443872358530559779425849273185381016482153881952399387955665588378906250000013956464432286318523810750398464
2.0000000000000000000000000000000000962964972193617926527988971292463659269050824107694097619969397783279418945312500260312666148355697352715353980928
2.0000000000000000000000000000000000481482486096808963263994485646231829634525412053847048809984698891639709472656250130156333074177848676357676990464
2.00000000000000000000000000000000002407412430484044816319972428231159148172627060269235244049923494458198547363281261035375382440544500442781043392512
2.00000000000000000000000000000000001203706215242022408159986214115579574086313530134617622024961747229099273681640609748500257080961736099405204815872
2.00000000000000000000000000000000000601853107621011204079993107057789787043156765067308811012480873614549636840820304874250128540480868049702602407936
2.0000000000000000000000000000000000030092655381050560203999655352889489352157838253365440550624043680727481842041031859062453738472454700073383624704
2.00000000000000000000000000000000000150463276905252801019998276764447446760789191266827202753120218403637409210204993141812795577878160524484383080448
2.0000000000000000000000000000000000007523163845262640050999913838222372338039459563341360137656010920181870460510216426390745155997085431047712145408
2.00000000000000000000000000000000000037615819226313200254999569191111861690197297816706800688280054600909352302550417517955833322048975251708420554752
2.000000000000000000000000000000000000188079096131566001274997845955559308450986489083534003441400273004546761512738795309821317451515838187939299328
2.00000000000000000000000000000000000009403954806578300063749892297777965422549324454176700172070013650227338075639598221482635704321599523517525655552
2.00000000000000000000000000000000000004701977403289150031874946148888982711274662227088350086035006825113669037819799110741317852160799761758762827776
2.0000000000000000000000000000000000000235098870164457501593747307444449135563733111354417504301750341255683451889926573140437959909716942439713865728
2.0000000000000000000000000000000000000117549435082228750796873653722224567781866555677208752150875170627841725944963286570218979954858471219856932864
2.00000000000000000000000000000000000000587747175411143753984368268611122838909332778386043760754375853139208629682281136985977591841370530170313637888
2.0000000000000000000000000000000000000029387358770557187699218413430556141945466638919302188037718792656960431475606997676275418005484161322721476608
2.0000000000000000000000000000000000000014693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215737803498838137709002742080661360738304
2.00000000000000000000000000000000000000073468396926392969248046033576390354863666597298255470094296981642401079029299861111627008477085010738571902976
2.000000000000000000000000000000000000000367341984631964846240230167881951774318332986491277350471484908212005401952146643976904311652917202328223744
2.00000000000000000000000000000000000000018367099231598242312011508394097588715916649324563867523574245410600268736477864515091361729147430389338341376
2.00000000000000000000000000000000000000009183549615799121156005754197048794357958324662281933761787122705300139812756802992561096278567434102960553984
2.00000000000000000000000000000000000000004591774807899560578002877098524397178979162331140966880893561352650069906378401496280548139283717051480276992
2.00000000000000000000000000000000000000002295887403949780289001438549262198589489581165570483440446780676325045842224942218171104897629296342322905088
2.0000000000000000000000000000000000000000114794370197489014450071927463109929474479058278524172022339033816250114304098816902389079283977253799591936
2.00000000000000000000000000000000000000000573971850987445072250359637315549647372395291392620860111695169081207015377528204388622084470135002666893312
2.00000000000000000000000000000000000000000286985925493722536125179818657774823686197645696310430055847584540777732260627622687604290034072566657712128
2.00000000000000000000000000000000000000000143492962746861268062589909328887411843098822848155215027923792270214641558450290850508897218031218004590592
2.00000000000000000000000000000000000000000071746481373430634031294954664443705921549411424077607513961896135107320779225145425254448609015609002295296
2.00000000000000000000000000000000000000000035873240686715317015647477332221852960774705712038803756980948068250558677066654685800215500528065798209536
2.00000000000000000000000000000000000000000017936620343357658507823738666110926480387352856019401878490474031337686188716999450208142966182987710857216
2.00000000000000000000000000000000000000000008968310171678829253911869333055463240193676428009700939245237012881249944542171832412106699010448667181056
2.00000000000000000000000000000000000000000004484155085839414626955934666527731620096838214004850469622618512015811271903741701589982917667314710085632
2.00000000000000000000000000000000000000000002242077542919707313477967333263865810048419107002425234811309256007905635951870850794991458833657355042816
2.00000000000000000000000000000000000000000001121038771459853656738983666631932905024209553501212617405654650304698016506558566933214002065190183501824
2.00000000000000000000000000000000000000000000560519385729926828369491833315966452512104776750606308702827235949368214130786717323733910439149067829248
2.00000000000000000000000000000000000000000000280259692864963414184745916657983226256052388375303154351413707177664901187885924804740045813020557836288
2.00000000000000000000000000000000000000000000140129846432481707092372958328991613128026194187651577175706853588832450593942962402370022906510278918144
2.00000000000000000000000000000000000000000000070064923216240853546186479164495806564013097093825788587852713170569872317030952058200286705686948085760
2.00000000000000000000000000000000000000000000035032461608120426773093239582247903282006548546912894293927070209131289138456005172084868100411665416192
2.00000000000000000000000000000000000000000000017516230804060213386546619791123951641003274273456447146964962352258350529109060872011883545342215454720
2.00000000000000000000000000000000000000000000008758115402030106693273309895561975820501637136728223573485335671514587184316647007944840762943873220608
2.00000000000000000000000000000000000000000000004379057701015053346636654947780987910250818568364111786736958844986469752634090360094622400926405623808
2.00000000000000000000000000000000000000000000002189528850507526673318327473890493955125409284182055893357061440951587197268578892291715239372140838912
2.00000000000000000000000000000000000000000000001094764425253763336659163736945246977562704642091027946701366683559088956731222021657049541868194365440
2.00000000000000000000000000000000000000000000000547382212626881668329581868472623488781352321045513973259339489446363045977880708783757082205601398784
2.00000000000000000000000000000000000000000000000273691106313440834164790934236311744390676160522756986812357449389544387764400958481413918559792267264
2.00000000000000000000000000000000000000000000000136845553156720417082395467118155872195338080261378493588866429361135058657661083330242336736887701504
2.00000000000000000000000000000000000000000000000068422776578360208541197733559077936097669040130689246429057805347841799777909333486050413454460715008
2.00000000000000000000000000000000000000000000000034211388289180104270598866779538968048834520065344622483778084008469440787112250384883696899264086016
2.00000000000000000000000000000000000000000000000017105694144590052135299433389769484024417260032672314164892316666040556800925790625007887761497128960
2.00000000000000000000000000000000000000000000000008552847072295026067649716694884742012208630016336154159442883671214441993093229879937904568883478528
2.00000000000000000000000000000000000000000000000004276423536147513033824858347442371006104315008168082925727991159218893811285945805101030908171911168
2.00000000000000000000000000000000000000000000000002138211768073756516912429173721185503052157504084041462863995579609446905642972902550515454085955584
2.00000000000000000000000000000000000000000000000001069105884036878258456214586860592751526078752042020731431997789804723452821486451275257727042977792
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000534552942018439129228107293430296375763039376021010365715998894902361726410743225637628863521488896
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000267276471009219564614053646715148187881519688010411646753210269664415827376077770705556452077993984
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000133638235504609782307026823357574093940759844005205823376605134832207913688038885352778226038996992
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000066819117752304891153513411678787046970379922002977056107459278563164100161194811129421031750500352
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000033409558876152445576756705839393523485189961000740239215416216987461763446246668658646678413246464
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000016704779438076222788378352919696761742594980501866697284334953081971454991824808141451014130630656
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000008352389719038111394189176459848380871297490250933348642167476540985727495912404070725507065315328
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000004176194859519055697094588229924190435648745119480363614576359917530570673150306786852053836627968
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000002088097429759527848547294114962095217824372583685424633317693370614457635798734387468825702432768
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000001044048714879763924273647057481047608912186315787955142688360097156401117122948187777211635335168
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000522024357439881962136823528740523804456093157893977571344180048578200558561474093888605817667584
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000261012178719940981068411764370261902228046387385046177435982729495721885492089094601912635883520
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000130506089359970490534205882185130951114023385254465696954098659541239336534692499643346590892032
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000065253044679985245267102941092565475557011692627232848477049329770619668267346249821673295446016
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000032626522339992622633551470546282737778504313818075558349666306538282683824489506171714464120832
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000016313261169996311316775735273141368889252156909037779174833153269141341912244753085857232060416
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000008156630584998155658387867636570684444632208436682353142850010022679272192856851499417350438912
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000004078315292499077829193933818285342222322234200504640126858438399448237333162900706197409628160
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000002039157646249538914596966909142671111148857135925392952562352423506916193112500440121235996672
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000001019578823124769457298483454571335555598948496616550698014909764187863043494150046015555633152
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000509789411562384728649241727285667777799474248308275349007454882093931521747075023007777816576
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000254894705781192364324620863642833888899737124154137674503727441046965760873537511503888908288
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000127447352890596182162310431821416944449868562077068837251863720523482880436768755751944454144
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000063723676445298091081155215910708472617253139500201966365668699212220591224781593154974384128
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000031861838222649045540577607955354235523988852826765887703360671705151993599596366019482877952
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000015930919111324522770288803977677120900545294106723325769575047456409204850975905241758695424
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000007965459555662261385144401988838560450272647053361662884787523728204602425487952620879347712
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000003982729777831130692572200994419280225136323526680831442393761864102301212743976310439673856
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000001991364888915565346286100497209627558364690989978888049618034516718318401661099227150811136
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000995682444457782673143050248604813779182345494989444024809017258359159200830549613575405568
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000497841222228891336571525124302356672777289654048611326089122967848250781571719094511599616
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000248920611114445668285762562151278770016411013916527035675332806586783028472970971808006144
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000124460305557222834142881281075237650497140759389378027314581112642760963488039787695177728
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000062230152778611417071440640538020559759635127263574504180375846972011032492465592056414208
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000031115076389305708535720320268206810857688068494016271044017342184744414749341399610556416
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000015557538194652854267860160135710343473103024522550097614349833694894410368453492640579584
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007778769097326427133930080061427419559515551159107200437810266437358393209095574979084288
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003889384548663213566965040043569214133829697783889296957634434038856820554810130171953152
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001944692274331606783482519996073598358771004483273255001358615379073162376880379721154560
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000972346137165803391741259998036799179385502241636627500679307689536581188440189860577280
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000486173068582901695870629947596382173405062303475526795422450564057794793170724200644608
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000243086534291450847935315179486260751853286421108911217380038404870880600782845018898432
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000121543267145725423967657589743130375926643210554455608690019202435440300391422509449216
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000060771633572862711983829206247704518264832144019523443682635846901686558590677091876864
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000030385816786431355991914603123852259132416072009761721841317923450843279295338545938432
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000015192908393215677995958947066483450772250190974063418271163944461287273227532621578240
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007596454196607838997972891515012440561956475610301479733562041287181102294312916353024
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003798227098303919498979863739276935456809617928420510464761089700128016827703063740416
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001899113549151959749516259942555607025079288471131172840460268623914145691665109614592
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000949556774575979874705473825443524919190685221723751204070686764256798290205399318528
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000474778387287989937458049204390319646293260638545546034354238477528948256357010636800
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000237389193643994968518400018858045449750794263905432152539329047963375905669883363328
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000118694596821997484259200009429022724875397131952716076269664523981687952834941681664
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000059347298410998741708350838040282615646026455241676308859251880388647531400226930688
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000029673649205499372539172085717056294989701670559565071531947466603109545769089105920
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000014836824602749687954582709555443134661539278218509452868295259710340552953520193536
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007418412301374843977291354777721567330769639109254726434147629855170276476760096768
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003709206150687421988645677388860783665384819554627363217073814927585138238380048384
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001854603075343684034376171543790597165677322757683007971392484923220088015579774976
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000927301537671868977134752922535093249853748398472177622840665002182525111400136704
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000463650768835826648780707858708367956866526120713394262842642338801338141259071488
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000231825384417805484603685326795005310372914981834002582843631007110744656188538880
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000115912692208687062728505458279145319065761333871612194266435178975523499212275712
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000057956346104774890510927139376287331774272981026584291443978238647459407370125312
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000028978173050662008668765928741284976921567234150179368478946522684939072629112832
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000014489086528781877507778246264359866391922129801315238725558454620050798426456064
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007244543264390938753889123132179933195961064900657619362779227310025399213228032
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003622271639097215723735125353524722460257557902779918653560000210175223830413312
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001811135791941622474705307527023337781020677141585523438098453884437515020009472
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000905567868363825850190398613772645441402236760988325830367680721568660614807552
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000452783934181912925095199306886322720701118380494162915183840360784330307403776
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000226391856663014913898579054487067563918151951029337902865735297791777572913152
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000113195707475624359651248329331346189094261497079181841980497883695113624879104
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000056597412026045985229541768841297908817501791668616702085509411446006489284608
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000028297822589490603422606092771898582949492982092359913233275644919902598332416
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000014148911294745301711303046385949291474746491046179956616637822459951299166208
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007081523035631764392969856382977617411436555458677480784151397654780820062208
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000003533694129556768659166595001485837031654967793751237916243212402585239552000
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001752712288260157254946631120736975167700864025700614006456633351682278817792
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000904625697166532776746648320380374280103671755200316906558262375061821325312
2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000452312848583266388373324160190187140051835877600158453279131187530910662656
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

途中で最後が5でなくなり、4.9999999…になるのは精度が足りないからです。getcontext().prec = 150を増やすと、もっと5が続くようになります。途中で2になっているのも精度が足りないからです。

横幅を1/2にすることを適当に300回という値を選びましたが、ほぼ2になっていることが了承いただけると思います。

教科書の流れ

微分を定義したら、大学の教科書では、しばらく微分に関する定理の証明が続きます。どの教科書も同様の構成です。微分の定義の前は、集合、実数、関数、の定義と定理の証明が書かれています。微分積分は実数と関数を扱い、実数は実数の集合として扱われるので、きちんと議論するためにはこの構成になります。

定義、を定義ときちんと書いていない教科書もあります。「なんとかと言います」とか、「なんとかと呼びます」が、大体定義です。

微分積分で何をやるかと言うと、解析をやるので、解析学という本の始めの方には微分積分があります。もしくは、解析学\(\mathrm{I}\)という本の内容は微分積分\( \pm{\alpha} \)と思っていると大体はずれません。

実数論講義(赤攝也)の目次です。微分を明確に公理的にやろうとすると、こうなります。

第1章 基礎概念
第2章 実数論の公理系
第3章 自然数・整数・有理数
第4章 除法の公理と実数の稠密性の公理
第5章 連続性の公理
第6章 連続関数
第7章 指数関数と対数関数
第8章 小数
第9章 微分法
第10章 積分法

是非、電子書籍での出版を。

導関数

微分係数の説明のために離れてしまいましたが、下記も微分の定義の一つです。

\( f(x) \)の微分係数を導く関数のことを導関数と定義しました。

$$ f(x)=x^2 : f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh+h^2}{h} = \lim_{h \to 0} 2x+h = 2x $$

\[ \begin{align*} f(x)=x^3 : f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^3+2x^2h+xh^2+hx^2+2xh^2+h^3-x^3}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+x^3}{h} = \lim_{h \to 0} 3x^2+3xh+h^2 = 3x^2 \end{align*} \]

\( x^2 \)の微分係数を導く関数は\( 2x \)。
\( x^3 \)の微分係数を導く関数は\( 3x^2 \)。

同様に、\( ax^2 \)の導関数なども簡単に手計算で得ることができます。手計算のときは\(h\)よりも\(\Delta x\)の方がお勧めです。書き間違いが減ると思います。ここで\(h\)を使っているのはTeXが短くなるからです。

まとめ

微分の定義を分解して、明瞭にしました。
微分に対する操作について省略は出来るだけしないで記述しました。

計算機の内部表現は、蛇足ですが、紹介しておきたかったので、精度を中途半端にしておかしくさせました。01でどう表現するかを設計するかを扱うことはあまりないと思いますが、どの精度まで許せるかは扱うことがあると思います。

もっと精緻に調べて考えて整理するべきなのですが、できていません。気軽に読んでください。

微分という議論に乗っかってもいい、と思っていただけたなら、幸いです。

上の説明では、\(x^2\)は\(1\)で、傾きが限りなく\(2\)に近づくことを示しました。無限を認めることで、\(2\)を認めることができると思います。例えば、\(h\)が無限の速度で\(1/2\)、\(1/4\)、\(1/8\)と半分ずつになっていくとすると、無限の速度で2.0000000000 …となります。ここで、\(h=0\)としてしまうと分母がゼロになるため、あくまでも\(h \to 0\)です。分母は無限に小さい値です。\(10^{10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}\)みたいな有限の延長で考えている限りは微分を受け入れることは難しいのではないでしょうか。式変形の説明が教科書と教員では足りないことの方が微分を受け入れさせない要因として大きい気もしますが。

予備校、Z会、の方がまともに説明してくれます。上述のように省略なしで手を動かせば、微分は頭に入ると思います。

極限がどうしても受け入れられない人は、下記の最後から2番目こそが導関数だ、と考えて、必要の際には最後を使う、ということでもいいかもしれません。
$$ f(x)=x^2 $$
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh+h^2}{h} = \lim_{h \to 0} 2x+h = 2x $$

次は積分です。

参考

タダノブのページ

お断り

いい加減に書いています。自分で責任を取れる人の仕事の参考にと思って書いています。絶対に大学受験、高校受験の参考にはしないでください。成績を上げるためには、予備校、Z会、を利用してください。

広告