線形代数 2

線形代数について説明します。

固有値 & 固有ベクトル

固有値は線形システムの制御に使います。
電気回路は線形システムの1つです。

2変数関数を例にとります。

\[
A
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2}
\end{pmatrix}
=
a
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2}
\end{pmatrix}
\]

3変数関数を例にとります。

\[
A
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{pmatrix}
=
a
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{pmatrix}
\]

4変数関数を例にとります。

\[
A
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}
\end{pmatrix}
=
a
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}
\end{pmatrix}
\]

定義 : 固有値 & 固有ベクトル
上記が成り立つとき、実数\(a\)を行列\(A\)の固有値と定義します。\( \boldsymbol{x} \)を\(A\)の固有ベクトルと定義します。
\(A\)は\(n \times n\)正方行列です。\( \boldsymbol{x} \)は\( \boldsymbol{0} \)ではありません。
実数を表すために\(a\)が使われたり、\( \lambda \)が使われたりします。

$$ A\boldsymbol{x} = a \boldsymbol{x} (a \in \mathbb{R}) $$
$$ A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x} (\lambda \in \mathbb{R}) $$

固有値の求め方

n次連立方程式になります。
上三角行列を作って、連立方程式を解きます。

お断り

いい加減に書いています。自分で責任を取れる人の仕事の参考にと思って書いています。

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