確率 4 – 1x2x3

正規分布について説明します。

正規分布 / Normal Distribution 1

確率変数\(X\)の確率密度関数が下記のときを正規分布と言います。

\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]

この分布は平均や分散を自然に定義したら導出することができます。正規分布は定義でないです。
とても重要な導出の結果なので「定理」と呼ばれます。導出の過程は「証明」と呼ばれます。
僕が見た文献ではA4で二枚ほどの導出でした。挑戦してみましょう !! (少なくとも微分積分が自由自在な人限定)

確率変数\(X\)が正規分布に従うことを下記で表記します。

\[
X\ {\sim}\ N(\mu,\sigma^2)
\]

変数は\(x\)のみです。
平均と分散は値を設定したら変わりません。parameterです。

下記を正規化定数と呼びます。他の呼び方もあります。

\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}
\]

正規化定数があると[\(-\infty\),\(\infty\)]の\(f(x)\)の積分が1になります。
正規化定数は\(f(x)\)の高さを変えるだけなので無視できる場合は無視してしまいます。

(時間が取れたら積分のところを厳密に書こうかな。)

正規分布が平均\(\mu=0\)かつ標準偏差\(\sigma=1\)のときです。

\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\tfrac{x^2}{2}}
\]

確率変数\(X\)が正規分布に従うことを下記で表記します。

\[
X\ {\sim}\ N(0,1)
\]

そのうち書きます。

memo.

確率\(p\)
確率\(q=1-p\)

コインの表と裏
さいころの1とそれ以外
etc

流派1.
aが試行回数。bが\(p\)の確率。
\[
X\ {\sim}\ B(a,b)
\]

正規分布はaが平均。bが分散。これ以外は見たことがない。二項分布は流派があるみたい。なんでや。
分散は標準偏差の二乗\(\sigma^2\)で表す。見たことのある文献は全部これだった気がする。

そのうち書きます。