積分

積分について説明します。

ここでは、リーマンの定積分のみを扱います。(コーシー積分、ルベーグ積分は扱いません。)
と言っても、立命館大学にある資料を紹介するだけです。巨人の肩に乗らせていただきます。

教科書の流れ

高校では、微分のあとは、不定積分をやります。その後、区分求積法で定積分をやります。

大学では、リーマン積分をやり、微分積分の基本定理をやります。
微分積分の基本定理は、微分と積分は逆だ、というものです。

面積を計算したいときは、積分を微分にしてしまって計算するということをやります。

単純な面積計算を考えると、下記となるでしょう。
$$ \int_0^1 x^2 $$
瞬間的に\( \displaystyle \frac{1}{3} \)と計算できると思います。現実をべき関数の多項式で十分な精度で近似できれば、積分計算を微分計算にして、値をすぐに計算できます。割と無理矢理に近似します。

実際に曲線で囲った面積を計算する必要があるかと言うと、あります。

大学でも参考書を買って自分で追いかけないと、結局は丸暗記しかなくなると思います。きちんと追いかけておくと暗記する量は減ると思います。

(敢えて省略しましたが、基本定理の前に、足し算の積分は積分の足し算にできるというのをやります。)

資料

リーマン積分については、下記にある資料「0007 リーマン積分入門」の説明が良いです。とても丁寧です。

微分積分

ゆっくり読めば、誰でも理解できるくらいに書かれています。
リーマン積分の、各区間の幅がそれぞれ異なること、幅の中に代表点\(x\)をとり、その\(x\)に対する\(y=f(x)\)を縦として幅との面積を計算すること、も明記されています。

不定積分

微分では、関数((*)とする)の傾きを得る関数、導関数を導出しました。

不定積分では、関数((**)とする)を導関数として捉えて、(*)を得ることを考えます。なので、微分の逆としての積分、と言われます。

微分により、関数にあった定数は、導出のときに(定数)-(定数)という計算になり、導関数の中でゼロになります。例えば\(2x\)の積分は\(x^2+C\)となって、この操作を不定積分と呼び、不定な(=一意に定まらない)定数\(C\)を積分定数と呼びます。

高校では、微分のあとは、不定積分をやります。

定積分

微分積分

上記を参照ください。

まとめ

高校では、数I、数II、数III、理系、文系、で分けたとき、積分がわかりくくなる構成(積分は積分として定積分を先にやる方がわかりやすいはず)となってしまう事情があるらしいです。
巻き込まれると非常に困ったことになるので、予備校、Z会、を利用せざるを得ないと思います。

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