方程式

方程式について説明します。

equation

Macに付属の辞書の説明です。

辞書 (英語)

a statement that the values of two mathematical expressions are equal (indicated by the sign =).

辞書 (和英)

方程式、等式

方程式

Macに付属の辞書の説明です。

これは、連立方程式や二次方程式のことのみの説明になっています。

辞書 (日本語)

未知数を含む等式で,その未知数に特定な数値を入れたときだけ成り立つもの。その未知数を方程式の根(解)といい,根をすべて求めることを方程式を解くという。

方程

Macに付属の辞書の説明です。

辞書 (日本語)

中国の数学書「九章算術」の内容の一。連立一次方程式を加減法で解くことを取り扱う。

連立方程式

連立方程式では全ての変数の値を決めることを考えます。

下記は解くことができる連立一次方程式の例です。

\[
\begin{cases}
x + y & = 1 \\
x + 2y & = 2
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 & = 1 \\
x_1 + 2x_2 + 3x_3 & = 2 \\
x_1 + x_2 + 2x_3 & = 3
\end{cases}
\]

二次方程式の解の公式

下記の二次方程式を考えます。

$$
a x^2 + b x + c = 0 (a \neq 0)
$$

二次方程式の解の公式、上記の式を成立させる\(x\)の値を求める式は下記です。

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}
$$

導出

\[
a x^2 + b x + c = 0 (a \neq 0)
\]

\(a\)で割ります。

\[
x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0
\]

無理矢理に平方完成します。

\[
(x + \frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0
\]

あとは、さっとやります。

\[
\begin{align*}
(x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} \\[7pt]
x + \frac{b}{2a} & = \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a}} \\[7pt]
x + \frac{b}{2a} & = \pm \sqrt{\frac{b^2 -4ac}{4a^2}} \\[7pt]
x + \frac{b}{2a} & = \frac{\pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\[7pt]
x & = \frac{\pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} -\frac{b}{2a} \\[7pt]
x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}
\end{align*}
\]

微分方程式

微分方程式の例です。

\[
\begin{align*}
\dot{x} & = ax + b \\
\ddot{x} & = -\omega^2 x
\end{align*}
\]

下記は、単振動の方程式と呼ばれ、振動を表す方程式です。

$$
\ddot{x} = -\omega^2 x
$$

微分方程式の解はそれぞれ下記となります。
\[
\begin{align*}
x(t) & = C e^{at} – \frac{b}{a} \\
x(t) & = A \cos(\omega t + \phi)
\end{align*}
\]

(\(C\)は任意定数)
(\(A\)と\(\phi\) は任意定数)

いつも通りの感じに書き直すと下記になります。

\[
\begin{align*}
f(t) & = C e^{at} – \frac{b}{a} \\
f(t) & = A \cos(\omega t + \phi)
\end{align*}
\]

このように、導関数を無くした形にすることを、微分方程式を解く、と言います。導関数を無くすために積分してます。

運動方程式

位置ベクトルを下記とします。

$$
\boldsymbol{r}
$$

運動方程式を位置ベクトルを使って表します。

$$
m \frac{d^2 \boldsymbol{r}}{d t^2} = \boldsymbol{F}
$$

これは微分方程式です。微分方程式を解きます。積分します。

お断り

いい加減に書いています。自分で責任を取れる人の仕事の参考にと思って書いています。絶対に大学受験、高校受験の参考にはしないでください。成績を上げるためには、予備校、Z会、を利用してください。

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