加法定理の証明 4

加法定理の証明をやります。

加法定理の証明

\(\cos \beta\)の辺を使って、\(\cos (\alpha + \beta)\)の証明をやります。

005

007

$$ \frac{\sin \beta \sin \alpha}{\cos \alpha} = \cos \beta -\frac{\cos (\alpha + \beta)}{\cos \alpha} $$

両辺に\(\cos \alpha\)をかけます。

\[
\begin{align*}
\sin \beta \sin \alpha &= \cos \alpha \cos \beta -\cos (\alpha + \beta) \\
\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \cos \beta &= -\cos (\alpha + \beta) \\
\cos (\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta
\end{align*}
\]

まとめ

最初から下記のような綺麗なことは、そうそう思い浮かびません。
$$ \cos \beta = \frac{\cos (\alpha + \beta)}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta \sin \alpha}{\cos \alpha} $$

次は\(\sin (\alpha + \beta)\)の証明です。

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