加法定理の証明をやります。
加法定理の証明
\(\sin (\alpha + \beta)\)を証明します。
2行目以降は、幾何、三角関数というより、代数です。
\[
\begin{align*}
\sin (\alpha + \beta) &= \frac{\sin \beta}{\cos \alpha} + \frac{\cos (\alpha + \beta)\sin \alpha}{\cos \alpha} \\
&= \frac{\sin \beta + (\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta)\sin \alpha}{\cos \alpha} \\
&= \frac{\sin \beta + \sin \alpha \cos \alpha \cos \beta -\sin^2 \alpha \sin \beta}{\cos \alpha} \\
&= \frac{\sin \beta(1-\sin^2 \alpha) +\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha} \\
&= \frac{\sin \beta \cos^2 \alpha +\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha} \\
&= \sin \beta \cos \alpha +\sin \alpha \cos \beta \\
\end{align*}
\]
下記は、図を描いて、ピタゴラスの定理より導くことができます。
$$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$
まとめ
加法定理も出来れば証明できた方が良いです。
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