確率 5 – 1x2x3

確率について説明します。

条件付き確率。

具体例から

昔から、条件付き確率の例題として下記が使われていたようです。

ここでは2016年のセンター試験から、下記とします。

問題とは異なり、下記を考えます。

取り出した球は袋に戻さない。
Aさんが赤球を取り出す。その後にBさんが白球を取り出す。その後にCさんが青球を取り出す確率。

Aさんが赤球を取り出した。
その条件でBさんが白球を取り出した。
その条件でCさんが青球を取り出した。
その確率。

\[
p(A_{赤} \cap B_{白} \cap C_{青})=p(A_{赤})p(B_{白} \vert A_{赤})p(C_{青} \vert A_{赤} \cap B_{白})
\]

\[
p(A_{赤} , B_{白} , C_{青})=p(A_{赤})p(B_{白} \vert A_{赤})p(C_{青} \vert A_{赤} , B_{白})
\]

\[
p(C_{青} \vert A_{赤} , B_{白})=\frac{p(A_{赤} , B_{白} , C_{青})}{p(A_{赤})p(B_{白} \vert A_{赤})}
\]

\[
p(C \vert A , B)=\frac{p(A , B , C)}{p(A)p(B \vert A)}
\]

12個あった球で青球でないのが2個減ってから青球を取り出す確率になるので下記。

\[
\frac{3}{10}
\]

上記の例を使います。

Aさんが赤球を取り出す。その後にBさんが白球を取り出す確率。その後にCさんが青球を取り出す確率。

\[
p(A_{赤} \cap B_{白} \cap C_{青})=\frac{4}{12}\frac{5}{11}\frac{3}{10}=\frac{1}{22}
\]

Cさんが青球を取り出す。その後にBさんが白球を取り出す確率。その後にAさんが赤球を取り出す確率。

\[
p(C_{青} \cap B_{白} \cap A_{赤})=\frac{3}{12}\frac{5}{11}\frac{4}{10}=\frac{1}{22}
\]

Cさんが青球を取り出す。その後にAさんが赤球を取り出す確率。その後にBさんが白球を取り出す確率。

\[
p(C_{青} \cap A_{赤} \cap B_{白})=\frac{3}{12}\frac{4}{11}\frac{5}{10}=\frac{1}{22}
\]

組み合わせを列挙してもいいですが、やりません。

Aさんが赤球を取り出す確率。

\[
p(A_{赤})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}
\]

Aさんが赤球を取り出す。その後にBさんが白球を取り出す確率。

\[
p(B \vert A)=\frac{p(A_{赤} \cap B_{白})}{p(A_{赤})}=\frac{5}{11}
\]

Aさんが赤球を取り出す。Bさんが白球を取り出す確率。その後にCさんが白球を取り出す確率。

\[
p(C \vert A , B)=\frac{1}{22}\frac{3}{1}\frac{11}{5}=\frac{3}{10}
\]

\[
p(A , B , C)=p(A)p(B \vert A)p(C \vert A , B)
\]

\[
p(C , B , A)=p(C)p(B \vert C)p(A \vert C , B)
\]

\[
p(C , A , B)=p(C)p(A \vert C)p(B \vert C , A)
\]

組み合わせを列挙してもいいですが、やりません。

\[
p(A \vert B , C)=\frac{p(A , B , C)}{p(C)p(B \vert C)}=\frac{p(A \vert C)p(B \vert C , A)}{p(B \vert C)}
\]

だから、これも色々と変形できます。